(a^3+b^3+c^3)(1/a+1/b+1/c) >=(a+b+c)^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HK
0
TL
18 tháng 6 2019
Gái xinh review app chất cho cả nhà đây: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618 Link tải app: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618
BH
15 tháng 4 2018
1a)Xét a2 + 5 - 4a =a2 - 4a + 4+1=(a - 2)2+1\(\ge\)1 hay (a -2)2 + 1 > 0
\(\Rightarrow\)Đpcm
b)Xét 3(a2 + b2 + c2) -(a + b +c)2 =3a2 + 3b2 + 3c2 - a2 - b2 - c2 - 2ab - 2ac - 2bc
=2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc
=(a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2\(\ge\)0 (với mọi a,b,c)
\(\Rightarrow\)Đpcm
2)Xét A=\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+c+b\right)=3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)
áp dụng cô-sy
\(\Rightarrow\)A\(\ge\)9
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\)
HD
3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2019
Theo BĐT Holder ta có:
\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)=\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a.1.1+b.1.1+c.1.1\right)^3\)
\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}\)
\(\Rightarrow P=\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}.3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=\left(a+b+c\right)^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
KB
11 tháng 3 2019
C/m : \(a^3+b^3+c^3\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}\)
Giả sử đpcm là đúng , ta có :
\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right).c^2+c^3\)
\(\Leftrightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3\left(a^2+2ab+b^2\right).c+3ac^2+3bc^2\)
\(\Leftrightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3ab\left(a+b\right)+\left(3a^2+6ab+3b^2\right).c+3ac^2+3bc^2\)
\(\Leftrightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(3a^2c+3ac^2\right)+\left(3bc^2+3b^2c\right)+3ab\left(a+b\right)+6abc\)
\(\Leftrightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3ac\left(a+c\right)+3bc\left(b+c\right)+3ab\left(a+b\right)+6abc\left(1\right)\)
Do a ; b ; c > 0 , áp dụng BĐT Cô - si , ta có :
\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge6abc\)
Từ ( 1 ) \(\Rightarrow6\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3ac\left(a+c\right)+3bc\left(b+c\right)+3ab\left(a+b\right)\left(3\right)\)
Áp dụng BĐT phụ \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) ( tự c/m ) , ta có :
\(3\left(a^3+c^3\right)\ge3ac\left(a+c\right)\) ; \(3\left(b^3+c^3\right)\ge3bc\left(b+c\right);3\left(a^3+b^3\right)\ge3ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow6\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3ab\left(a+b\right)+3ac\left(a+c\right)+3bc\left(b+c\right)\left(4\right)\)
( luôn đúng )
Từ ( 3 ) ; ( 4 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm
Áp dụng vào bài toán , ta có :
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}.\frac{9}{a+b+c}=\left(a+b+c\right)^2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
LN
1
3 tháng 1 2019
3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :
\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)
\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)
Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :
\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Áp dụng bđt Bunyakovsky: \(\left(a+b+c\right)^2=\left(a\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+b\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+c\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\)
\(\le\left[\left(a\sqrt{a}\right)^2+\left(b\sqrt{b}\right)^2+\left(c\sqrt{c}\right)^2\right]\left[\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\right]\)
\(=\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)