Cho a , b , c > 0
CMR: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 3 2020
BĐT phụ:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ( đpcm )
Vậy.......
T
23 tháng 10 2018
Theo BĐT Cô si,ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (1)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (2)
Nhân theo vế (1) và (2),ta có:\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Chia cả hai vế cho abc,ta được: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}^{\left(đpcm\right)}\)
T
13 tháng 2 2020
Mấy cái dấu "=" anh tự xét.
Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\)
a) Áp dụng: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
b) \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}\)
3 tháng 6 2019
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức cho các số không âm:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(''=''\Leftrightarrow a=b=c\)
CB
3 tháng 6 2019
Trình bày như vậy khó lắm nếu bn ấy chưa tìm hiểu
BĐT
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=9\)( do a,b,c>0)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}-2+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}-2+\frac{c}{a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b-c\right)^2}{bc}+\frac{\left(a-c\right)^2}{ac}\ge0\)(đúng)
C
22 tháng 9 2019
a) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(đpcm\right)\)
C
22 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT Cô -si cho 3 số dương:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 11 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{9}{abc+2}\Leftrightarrow abc+2\ge3\sqrt[3]{abc}\)
BĐT trên luôn đúng theo AM-GM vì: \(abc+2=abc+1+1\ge3\sqrt[3]{abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 10 2019
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
Theo BĐT Cauchy ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\\a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}.3\sqrt[3]{abc}=9\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge9abc\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số được
\(\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}.3\sqrt[3]{abc}=9abc\left(Đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Cách thông dụng nè:
Theo BĐT Cô si cho 3 số:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (1)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (2)
Nhân theo vế (1) và (2),ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
Chia cả hai vế của BĐT cho a + b + c,ta được: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}^{\left(đpcm\right)}\)