CMR: \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge4abcd\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 2 2020
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
a) \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\ge4abcd\)
b) \(a^2+1\ge2a,b^2+1\ge2b,c^2+1\ge2c\)
\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge8abc\)
c) \(a^2+4\ge4a,b^2+4\ge4b,c^2+4\ge4c,d^2+4\ge4d\)
\(\Rightarrow\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge256abcd\)
8 tháng 2 2020
a) \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left[\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right]\ge2\cdot2abcd=4abcd\)
b) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a\cdot2b\cdot2c=8abc\)
c) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a\cdot4b\cdot4c\cdot4d=256abcd\)
E
16 tháng 2 2019
Bài 1:
a) \(\)Ta có: x2 + y2 + z2 + 3 - 2(x + y + z) = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 ≥ 0
=> x2 + y2 + z2 + 3 ≥ 2(x + y + z)
b) Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Cô-si:
\(\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)\ge2\sqrt{a^4b^4}+2\sqrt{c^4d^4}=2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge2.2.\sqrt{a^2b^2c^2d^2}=4\left|abcd\right|\ge4abcd\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d
Bài 2:
Ta sẽ chứng minh ab + bc + ca ≤ \(\dfrac{1}{3}\)(a + b + c)2 = 0
<=> 3ab + 3bc + 3ca ≤ (a + b + c)2
<=> 3ab + 3bc + 3ca ≤ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
<=> ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2
Thật vậy:
(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2 ≥ 0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2022
1. Đề sai, ví dụ (a;b;c)=(1;2;2) hay (1;2;7) gì đó
2. Theo nguyên lý Dirichlet, trong 4 số a;b;c;d luôn có ít nhất 2 số đồng dư khi chia 3.
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b thì \(a-b⋮3\)
Ta có 2 TH sau:
- Trong 4 số có 2 chẵn 2 lẻ, giả sử a, b chẵn và c, d lẻ \(\Rightarrow a-b,c-d\) đều chẵn \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(c-d\right)⋮4\)
\(\Rightarrow\) Tích đã cho chia hết 12
- Trong 4 số có nhiều hơn 3 số cùng tính chẵn lẽ, khi đó cũng luôn có 2 hiệu chẵn (tương tự TH trên) \(\Rightarrowđpcm\)
3. Với \(n=1\) thỏa mãn
Với \(n>1\) ta có \(3^n\equiv\left(5-2\right)^n\equiv\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow n.2^n+3^n\equiv n.2^n+\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)
Mặt khác \(n.2^n+\left(-2\right)^n=2^n\left(n+\left(-1\right)^n\right)\)
Mà \(2^n⋮̸5\Rightarrow n+\left(-1\right)^n⋮5\)
TH1: \(n=2k\Rightarrow2k+1⋮5\Rightarrow2k+1=5\left(2m+1\right)\Rightarrow k=5m+2\)
\(\Rightarrow n=10m+4\)
TH2: \(n=2k+1\Rightarrow2k+1-1⋮5\Rightarrow2k⋮5\Rightarrow k=5t\Rightarrow n=10t+1\)
Vậy với \(\left[{}\begin{matrix}n=10k+4\\n=10k+1\end{matrix}\right.\) (\(k\in N\)) thì số đã cho chia hết cho 5
13 tháng 8 2017
4) Ta có : A=(a+b+c+d)(a-b-c+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d)
=> (a+d)2 - (b+c)2= (a-d)2 - (c-b)2
=> a2+ d2+ 2ad - b2- c2- 2bc=a2 + d2 - 2ad - c2-b2+2bc
Rút gọn ta được: 4ad = 4bc => ad = bc =>\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
13 tháng 8 2017
1) a2+b2+c2+3=2(a+b+c) =>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=> a-1=b-1=c-1=0 => a=b=c=1 =>đpcm
C
10 tháng 4 2017
5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)
áp dụng bđ cosy
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
=> đpcm
6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt
7.áp dụng bđt cosy
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)
10 tháng 4 2018
giả sử điều phải chứng minh là đúng thì:
\(\dfrac{\left(a+c\right)^2}{\left(a-c\right)^2}=\dfrac{\left(b+d\right)^2}{\left(b-d\right)^2}\\ \Rightarrow\left[\left(a+c\right)\left(b-d\right)\right]^2=\left[\left(a-c\right)\left(b+d\right)\right]^2\\ \Leftrightarrow\left(ab+bc-ad-cd\right)^2=\left(ab+ad-bc-cd\right)^2\\ \Leftrightarrow\left(ab+bc-ad-cd\right)^2-\left(ab+ad-bc-cd\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(ab+bc-ad-cd+ab+ad-bc-cd\right)\left(ab+bc-ad-cd-ab-ad+bc+cd\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(2ab-2cd\right)\left(2bc-2ad\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(ab-cd\right)\left(bc-ad\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ab-cd=0\\bc-ad=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ab=cd\\bc=ad\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}=\dfrac{d}{b}\\\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)
do đó điều phải chứng minh là đúng
1 tháng 3 2018
áp dụng bất đẳng thức
A+B)2 >= 4AB
Ta có:
\(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2\ge4.\frac{a+b}{2}.\frac{c+d}{2}=\left(a+b\right)\left(c+d\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge2ab.2cd=4abcd\)
đpcm
???????????????????????????????????????????????