Tìm GTLN của hàm số:
f(x)=\(x\sqrt{x-9}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 11 2021
\(a,\dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x^2+x+1}}=\dfrac{x^2+x+1+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=\sqrt{x^2+x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT cosi: \(\left(1\right)\ge2\sqrt{\sqrt{x^2+x+1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}}=2\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x^2+x+1=1\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)
DT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 9 2021
Lời giải:
TXĐ: $[-1;1]$
$y'=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+\frac{x}{2}$
$y'=0\Leftrightarrow x=0$
$f(0)=2$;
$f(1)=f(-1)=\sqrt{2}+\frac{1}{4}$
Vậy $f_{\min}=2; f_{\max}=\frac{1}{4}+\sqrt{2}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 7 2021
24.
\(cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\le1\Rightarrow y\le3.1+1=4\)
\(y_{max}=4\)
26.
\(y=\sqrt{2}cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)
Do \(cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\le1\Rightarrow y\le\sqrt{2}\)
\(y_{max}=\sqrt{2}\)
b.
\(\dfrac{1}{2}sinx+\dfrac{\sqrt{3}}{2}cosx=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
V
1
11 tháng 12 2020
Ta có: \(y=\sqrt{3+x}+\sqrt{5-x}\)
ĐKXĐ: \(-3\le x\le5\)
\(y^2=3+x+5-x+2\sqrt{\left(3+x\right)\left(5-x\right)}=8+2\sqrt{\left(3+x\right)\left(5-x\right)}\)\(\ge8\)
\(\Rightarrow y\ge2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=5\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn)
Vậy min y = \(2\sqrt{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=5\end{matrix}\right.\)
mặt khác \(y^2\) = \(8+2\sqrt{\left(3+x\right)\left(5-x\right)}\le8+3+x+5-x=16\)
\(\Rightarrow y\le4\)
Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi \(3+x=5-x\Leftrightarrow x=1\)(thỏa mãn)
Vậy max y = 4 \(\Leftrightarrow x=1\)
PP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2021
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\Rightarrow x+1\ge0\\\sqrt{x^2+1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y\ge0\)
\(y_{min}=0\) khi \(x=-1\)
Lại có: \(y^2=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+1}=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-x^2+2x-1}{x^2+1}=2-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\le2\)
\(\Rightarrow y\le\sqrt{2}\)
\(y_{max}=\sqrt{2}\) khi \(x=1\)
TN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 6 2021
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left|sinx\right|\le1\\\left|cosx\right|\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sin^9x\le sin^2x\\cos^{12}x\le cos^2x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow sin^9x+cos^{12}x\le sin^2x+cos^2x=1\)
\(y_{max}=1\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 2 2022
Lời giải:
Với $x<2, x>2$ thì hàm số luôn xác định nên luôn liên tục với mọi \(x\in\mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}\)
Với $x=2$
\( \lim\limits_{x\to 2-}f(x)=\lim\limits_{x\to 2-}(x^2-3x+4)=2 \)
Vậy \(\lim\limits_{x\to 2-}f(x)\neq f(2) \) (vì $2\neq 5$) nên hàm số không liên tục tại $x=2$
MT
3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 giờ trước (21:32)
\(P=\sqrt{x}+\sqrt{9-x}+\sqrt{x\left(9-x\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{9-x}\)
\(\Rightarrow P^2\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{9-x}\right)^2=9+2\sqrt{x\left(9-x\right)}\ge9\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
\(P_{\min}=3\) khi x=0 hoặc x=9
\(P=\sqrt{x}+\sqrt{9-x}+\sqrt{x\left(9-x\right)}\le\sqrt{2\left(x+9-x\right)}+\frac12\left(x+9-x\right)=\frac92+3\sqrt2\)
\(P_{max}=\frac92+3\sqrt2\) khi \(x=9-x\Rightarrow x=\frac92\)
TH
Trần Hoàng Trung
VIP
7 giờ trước (12:46)
Bước 1: Viết lại biểu thức cho dễ nhìn
\(P = \frac{x}{9 - x} + x \left(\right. 9 - x \left.\right)\)
Bước 2: Tìm đạo hàm của \(P\)
\(P = \frac{x}{9 - x} + x \left(\right. 9 - x \left.\right)\)
Đạo hàm từng phần:
- Đạo hàm của \(\frac{x}{9 - x}\):
\(u = x , v = 9 - x \Rightarrow u^{'} = 1 , v^{'} = - 1\)\(\left(\left(\right. \frac{u}{v} \left.\right)\right)^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} = \frac{1 \cdot \left(\right. 9 - x \left.\right) - x \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = \frac{9 - x + x}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = \frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}}\)
- Đạo hàm của \(x \left(\right. 9 - x \left.\right) = 9 x - x^{2}\) là:
\(9 - 2 x\)
Vậy đạo hàm của \(P\) là:
\(P^{'} = \frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} + 9 - 2 x\)
Bước 3: Tìm nghiệm của \(P^{'} = 0\)
\(\frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} + 9 - 2 x = 0\)
Chuyển vế:
\(\frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = 2 x - 9\)
Lưu ý: Để vế phải \(2 x - 9\) dương (vì vế trái luôn dương), ta có:
\(2 x - 9 > 0 \Rightarrow x > \frac{9}{2} = 4.5\)
Nhân hai vế với \(\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}\):
\(9 = \left(\right. 2 x - 9 \left.\right) \left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}\)
Đặt \(t = 9 - x\), khi \(x > 4.5 \Rightarrow t = 9 - x < 4.5\).
Thay \(x = 9 - t\):
\(9 = \left(\right. 2 \left(\right. 9 - t \left.\right) - 9 \left.\right) \cdot t^{2} = \left(\right. 18 - 2 t - 9 \left.\right) t^{2} = \left(\right. 9 - 2 t \left.\right) t^{2}\)
Ta có:
\(9 = \left(\right. 9 - 2 t \left.\right) t^{2} = 9 t^{2} - 2 t^{3}\)
Chuyển hết về một phía:
\(9 t^{2} - 2 t^{3} - 9 = 0\)
Hay:
\(- 2 t^{3} + 9 t^{2} - 9 = 0\)
Nhân cả phương trình với -1 để thuận tiện:
\(2 t^{3} - 9 t^{2} + 9 = 0\)
Bước 4: Giải phương trình \(2 t^{3} - 9 t^{2} + 9 = 0\)
Thử các nghiệm nguyên hoặc hữu tỉ:
- \(t = 1\):
\(2 \left(\right. 1 \left.\right)^{3} - 9 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} + 9 = 2 - 9 + 9 = 2 \neq 0\)
- \(t = 3\):
\(2 \left(\right. 27 \left.\right) - 9 \left(\right. 9 \left.\right) + 9 = 54 - 81 + 9 = - 18 \neq 0\)
- \(t = 4.5\):
\(2 \left(\right. 4.5 \left.\right)^{3} - 9 \left(\right. 4.5 \left.\right)^{2} + 9 = 2 \cdot 91.125 - 9 \cdot 20.25 + 9 = 182.25 - 182.25 + 9 = 9 \neq 0\)
- \(t = 2\):
\(2 \left(\right. 8 \left.\right) - 9 \left(\right. 4 \left.\right) + 9 = 16 - 36 + 9 = - 11 \neq 0\)
Không tìm được nghiệm nguyên, dùng phương pháp đồ thị hoặc nghiệm gần đúng.
Bước 5: Tính giá trị gần đúng nghiệm \(t\)
Ta có hàm:
\(f \left(\right. t \left.\right) = 2 t^{3} - 9 t^{2} + 9\)
- \(f \left(\right. 2 \left.\right) = - 11\) (âm)
- \(f \left(\right. 3 \left.\right) = 2 \cdot 27 - 9 \cdot 9 + 9 = 54 - 81 + 9 = - 18\) (âm, chỉnh lại ở trên bị sai, đúng là -18)
- \(f \left(\right. 4 \left.\right) = 2 \cdot 64 - 9 \cdot 16 + 9 = 128 - 144 + 9 = - 7\) (âm)
- \(f \left(\right. 5 \left.\right) = 2 \cdot 125 - 9 \cdot 25 + 9 = 250 - 225 + 9 = 34\) (dương)
Vậy nghiệm nằm trong khoảng \(\left(\right. 4 , 5 \left.\right)\).
Tiếp tục thử \(t = 4.5\):
\(f \left(\right. 4.5 \left.\right) = 2 \cdot 91.125 - 9 \cdot 20.25 + 9 = 182.25 - 182.25 + 9 = 9 > 0\)
Có vẻ trước đó tính sai, ta kiểm tra lại:
\(t = 4.25 \Rightarrow f \left(\right. 4.25 \left.\right) = 2 \cdot \left(\right. 4.25 \left.\right)^{3} - 9 \cdot \left(\right. 4.25 \left.\right)^{2} + 9\)\(\left(\right. 4.25 \left.\right)^{3} = 76.765625 , \left(\right. 4.25 \left.\right)^{2} = 18.0625\)\(f \left(\right. 4.25 \left.\right) = 2 \cdot 76.765625 - 9 \cdot 18.0625 + 9 = 153.53125 - + 9 = - 0.03125\)
Gần bằng 0, nghiệm ở gần \(4.25\).
Bước 6: Tính nghiệm x
\(t \approx 4.25 \Rightarrow x = 9 - t = 9 - 4.25 = 4.75\)
Bước 7: Tính giá trị \(P\) tại \(x = 4.75\)
\(P = \frac{4.75}{9 - 4.75} + 4.75 \left(\right. 9 - 4.75 \left.\right) = \frac{4.75}{4.25} + 4.75 \times 4.25\)\(\frac{4.75}{4.25} \approx 1.1176 , 4.75 \times 4.25 = 20.1875\)\(P \approx 1.1176 + 20.1875 = 21.3051\)
Bước 8: Xét giới hạn tại biên \(x \rightarrow 0^{+}\) và \(x \rightarrow 9^{-}\)
- Khi \(x \rightarrow 0^{+}\):
\(P \rightarrow \frac{0}{9} + 0 \times 9 = 0\)
- Khi \(x \rightarrow 9^{-}\):
\(\frac{x}{9 - x} \rightarrow + \infty , x \left(\right. 9 - x \left.\right) \rightarrow 0\)
Nên \(P \rightarrow + \infty\).
Kết luận:
- \(P\) có một điểm cực trị tại \(x \approx 4.75\) với giá trị \(P \approx 21.3\).
- \(P \rightarrow + \infty\) khi \(x \rightarrow 9^{-}\).
- \(P \rightarrow 0\) khi \(x \rightarrow 0^{+}\).
Vì \(P \rightarrow + \infty\) gần biên \(x \rightarrow 9^{-}\), nên không có GTLN hữu hạn trên khoảng \(\left(\right. 0 , 9 \left.\right)\).
Còn GTNN là khoảng \(x \rightarrow 0\) hoặc tại cực trị \(x = 4.75\).