cho \(x^2+y^2+z^2=3\)
CMR:\(xy^2+yz^2+zx^2\le2+xyz\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AT
14 tháng 11 2018
không mất tính tổng quát giả sử y nằm giữa x và z
=> x(y - z)(y - x) ≤ 0
hay xy2 + zx2 ≤ x2y + xyz
Ta cần chứng minh: x2y + yz2 ≤ 2.
Ta có: x2 + y2 + z2 = 3
<=> x2 + z2 = 3 - y2.
Ta có: \(x^2y+yz^2\le2\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2\right)\le2\)
\(\Leftrightarrow y\left(3-y^2\right)\le2\)
\(\Leftrightarrow3y-y^3\le2\)\(\Leftrightarrow y^3+2\ge3y\)(đúng, vì theo AM-GM có:\(y^3+1+1\ge3\sqrt[3]{y^3}=3y\))
=> Đpcm
HN
0
HN
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 6 2020
\(VT=\frac{\left(yz\right)^2}{x^2yz\left(y+z\right)}+\frac{\left(zx\right)^2}{xy^2z\left(z+x\right)}+\frac{\left(xy\right)^2}{xyz^2\left(x+y\right)}\)
\(VT=\frac{2\left(yz\right)^2}{xy+xz}+\frac{2\left(zx\right)^2}{xy+yz}+\frac{2\left(xy\right)^2}{xz+yz}\)
\(VT\ge\frac{2\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=xy+yz+zx\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 8 2021
\(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)=9\Rightarrow xy+yz+zx\ge3\)
\(2\left(x^2+y^2\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
Tương tự và nhân vế với vế:
\(VT\ge\dfrac{27}{64}\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\)
Mặt khác ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)
\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge\dfrac{8}{9}\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{64}.\dfrac{64}{81}.3\left(xy+yz+zx\right)^3\ge3^3=27\) (đpcm)
Can them dieu kien cua x;y;z vi du x;y;z>0
WLOG \(x\ge y\ge z\)
Ap dung BDT Rearrangement ta co:
\(VT=xy^2+yz^2+zx^2\le x^2y+xyz+yz^2\)
\(=xyz+y\left(x^2+z^2\right)=\text{}xyz+y\left(3-y^2\right)\)
\(\le\text{}xyz+2=VP\)
Cảm ơn bạn