Cho x,y dương. CMR: \(x+y\ge\frac{12xy}{9+xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HM
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 11 2018
Lời giải:
Áp dụng BDDT Cô-si cho các số dương:
\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\)
\(9+xy\geq 2\sqrt{9xy}=6\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow (x+y)(9+xy)\geq 2\sqrt{xy}.6\sqrt{xy}=12xy\)
\(\Rightarrow x+y\geq \frac{12xy}{9+xy}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y>0; 9=xy\Rightarrow x=y=3\)
NC
0
TM
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2020
BĐT của bạn bị ngược dấu, mà có vẻ các mẫu số cũng ko đúng (để ý mẫu số thứ 2 và thứ 3 đều có chung xy+xz ko hợp lý)
26 tháng 4 2020
Ta có : \(\frac{x}{x^2-yz+2010}+\frac{y}{y^2-xz+2010}+\frac{z}{z^2-xy+2010}\)
\(=\frac{x^2}{x^3-xyz+2010x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2010y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2010z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+3\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3+3xy^2+3x^2y+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}\)
HH
7 tháng 1 2019
giờ nhân cả tử và mẫu mỗi phân thức vs mỗi tử của nó rồi sử dụng BDT bunhiacopxki là ra thôi bn
8 tháng 1 2019
\(\frac{x^2}{x^3-xyz+2013x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+3.\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+3xy+3yz+3zx\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z\right)^2}=\frac{1}{x+y+z}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 11 2019
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\) ; \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\); \(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (1)
\(9+xy\ge2\sqrt{9xy}\) (2)
Từ (2) suy ra \(\frac{12xy}{9+xy}\le\frac{12}{2\sqrt{9xy}}=\frac{6}{\sqrt{9xy}}=\frac{6}{3\sqrt{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Ta sẽ chứng minh \(2\sqrt{xy}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\).Thật vậy,ta có:
Điều cần chứng minh tương đương với: \(2\sqrt{xy}.\sqrt{xy}\ge2\)
hay \(2xy\ge2\) (luôn đúng vì x,y dương)
Suy ra đpcm
P/s: Tuy nhiên ở bài này dấu "=" xảy ra. =,=
À nhầm xíu, bắt đầu lại chỗ: "Ta sẽ chứng minh ..."
Ta sẽ chứng minh \(\frac{2\sqrt{xy}}{1}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)( \(2\sqrt{xy}=\frac{2\sqrt{xy}}{1}\).Thật vậy,ta có:
Điều cần chứng minh tương đương với: \(\frac{2\sqrt{xy}.\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Hay \(\frac{2xy}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) - luôn đúng (do x,y dương)
P/s: tuy nhiên dấu "=" không xảy ra ở bài này =((