Question

[Trần Hải Linh]

Tìm số dư khi A chia cho 105 biết A = 4⁰ + 4¹ + 4² + ....+ 4²⁴

Answer 1

[Phước Lộc]

Vì 105 = 5.21 

ta có: \(A=4^0+4^1+4^2+...+4^{24}\)

\(A=1+\left(4^1+4^2\right)+\left(4^3+4^4\right)+...+\left(4^{23}+4^{24}\right)\)

\(A=1+4\left(1+4\right)+4^3\left(1+4\right)+...+4^{23}\left(1+4\right)\)

\(A=1+5.\left(4+4^3+...+4^{23}\right)\)chia 5 dư 1 nên  \(A-1=4^1+4^2+...+4^{24}\)chia hết cho 5 (1)

lại có: \(A=1+\left(4^1+4^2+4^3\right)+\left(4^4+4^5+4^6\right)+...+\left(4^{22}+4^{23}+4^{24}\right)\)

\(A=1+4\left(1+4+4^2\right)+4^4\left(1+4+4^2\right)+...+4^{22}\left(1+4+4^2\right)\)

\(A=1+21.\left(4+4^4+...+4^{22}\right)\)chia 21 dư 1 vậy \(A-1=4^1+4^2+...+4^{24}\)chia hết cho 21 (2)

từ (1) và (2) => \(A-1=4^1+4^2+...+4^{24}⋮105\)

Vậy A chia 105 dư 1

Answer 2

[Lung Thị Linh]

Đặt \(B=4^1+4^2+...+4^{24}\)

\(B=\left(4+4^2+4^3\right)+...+\left(4^{22}+4^{23}+4^{24}\right)\)

\(B=4\left(1+4+4^2\right)+...+4^{22}\left(1+4+4^2\right)\)

\(B=4.21+...+4^{22}.21\)

\(B=21\left(4+...+4^{22}\right)⋮21\)

Mặt khác: \(B=4^1+4^2+...+4^{24}\)

\(B=\left(4+4^2\right)+...+\left(4^{23}+4^{24}\right)\)

\(B=4\left(1+4\right)+...+4^{23}.\left(1+4\right)\)

\(B=4.5+...+4^{23}.5\)

\(B=5\left(4+...+4^{23}\right)⋮5\)

Vì ƯCLN(21,5) = 1, mà \(B⋮21\)và \(B⋮5\)

\(\Rightarrow B⋮105\)

=> B + 1 chia 105 dư 1

=> A chia 105 dư 1

Vậy A chia 105 dư 1