Cho A=15+25+.....+n5 và B=1+2+....+n. Chứng minh A\(⋮\)B.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 9 2023
a) Xét hiệu : \(n^5-n\)
Đặt : \(A\text{=}n^5-n\)
Ta có : \(A\text{=}n.\left(n^4-1\right)\text{=}n.\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(A\text{=}n.\left(n+1\right).\left(n-1\right).\left(n^2+1\right)\)
Vì : \(n.\left(n+1\right)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp .
\(\Rightarrow A⋮2\)
Ta có : \(A\text{=}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(A\text{=}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(A\text{=}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n.\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)
Ta thấy : \(\left\{{}\begin{matrix}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮5\\5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\end{matrix}\right.\) vì tích ở trên là tích của 5 số liên tiếp nên chia hết cho 5.
Do đó : \(A⋮10\)
\(\Rightarrow A\) có chữ số tận cùng là 0.
Suy ra : đpcm.
b) Vì \(n⋮3̸\) nên n có dạng : \(3k+1hoặc3k+2\left(k\in N\right)\)
Với : n= 3k+1
Thì : \(n^2\text{=}9k^2+6k+1\)
Do đó : \(n^2\) chia 3 dư 1.
Với : n=3k+2
Thì : \(n^2\text{=}9k^2+12k+4\text{=}9k^2+12k+3+1\)
Do đó : \(n^2\) chia 3 dư 1.
Suy ra : đpcm.
14 tháng 12 2016
1a S1=1+21+22+...+239
S1=(1+2+22+23).1+.........(1+2+22+23).236
S1=15.1+...........15.236 chia hết cho 15
8 tháng 7 2019
1.
b) \(S2=125^7-25^9\)
\(=5^{21}-5^{18}=5^{18}\left(5^3-1\right)\)
\(=5^{18}.124⋮124\)
=> S2 \(⋮124\left(đpcm\right)\)
hc tốt
17 tháng 12 2014
a,60 chia hết cho 15 => 60n chia hết cho 15 ; 45 chia hết cho 15 => 60n+45 chia hết cho 15 (theo tính chất 1)
60n chia hết cho 30 ; 45 không chia hết cho 30 => 60n+45 không chia hết cho 30 (theo tính chất 2)
b,Giả sử có số a thuộc N thoả mãn cả 2 điều kiện đã cho thì a=15k+6 (1) và a=9q+1.
Từ (1) suy ra a chia hết cho 3, từ (2) suy ra a không chia hết cho 3. Đó là điều vô lí. Vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn đề.
c,1005 chia hết cho 15 => 1005a chia hết cho 15 (1)
2100 chia hết cho 15 => 2100b chia hết cho 15 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1005a+2100b chia hết cho 15 (theo tính chất 1)
d,Ta có : n^2+n+1=nx(n+1)+1
nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 suy ra nx(n+1)+1 là một số lẻ nên không chia hết cho 2.
nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9 nên nx(n+1)+1 không có tận cùng là 0 hoặc 5, do đó nx(n+1)+1 không chia hết cho 5.
10 tháng 6 2015
Mình xin trả lời ngắn gọn hơn! a)60 chia hết cho 15=> 60n chia hết cho 15 15 chia hết cho 15 =>60n+15 chia hết cho 15. 60 chia hết cho 30=>60n chia hết cho 30 15 không chia hết cho 30 =>60n+15 không chia hết cho 30 b)Gọi số tự nhiên đó là A Giả sử A thỏa mãn cả hai điều kiện => A= 15.x+6 & = 9.y+1 Nếu A = 15x +6 => A chia hết cho 3 Nếu A = 9y+1 => A không chia hết cho 3 => vô lí.=> c) Vì 1005;2100 chia hết cho 15=> 1005a; 2100b chia hết cho 15. => 1500a+2100b chia hết cho 15. d) A chia hết cho 2;5 => A chia hết cho 10. => A là số chẵn( cụ thể hơn là A là số có c/s tận cùng =0.) Nếu n là số chẵn => A là số lẻ. (vì chẵn.chẵn+chẵn+lẻ=lẻ) Nếu n là số lẻ => A là số lẻ (vì lẻ.lẻ+lẻ+lẻ=lẻ) => A không chia hết cho 2;5
17 tháng 1 2023
Bài 3:
a: A=-5-7-8=-20
b: =-3+7+2*(-8)=-16+4=-12
c: =2-3*15-8=-55
Bài 4:
a: x-y+2=-12-25+2=-37+2=-35
b: x+y+z-y-3=x+z-3=-12-15-3=-30
c: =20-12-(25-15)+12=20-10=10
d: =25-(-12+25+15)+3
=25+12-25-15-3
=-3-3=-6
6 tháng 10 2017
Câu 1:
a) n+4 chia hết cho n
suy ra 4 chia hết cho n(vì n chia hết cho n)
suy ra n thuộc Ư(4) {1;2;4}
Vậy n {1;2;4}
b) 3n+7 chia hết cho n
suy ra 7 chia hết cho n(vì 3n chia hết cho n)
suy ra n thuộc Ư(7) {1;7}
Vậy n {1;7}
c) 27-5n chia hết cho n
suy ra 27 chia hết cho n(vì 5n chia hết cho n)
suy ra n thuộc Ư(27) {1;3;9;27}
Vậy n {1;3;9;27}
d) n+6 chia hết cho n+2
suy ra (n+2)+4 chia hết cho n+2
suy ra 4 chia hết cho n+2(vì n+2 chia hết cho n+2)
suy ra n+2 thuộc Ư(4) {1;2;4}
n+2 bằng 1 (loại)
n+2 bằng 2 suy ra n bằng 0
n+2 bằng 4 suy ra n bằng 2
Vậy n {0;2}
e) 2n+3 chia hết cho n-2
suy ra 2(n-2)+7 chia hết cho n-2
suy ra 7 chia hết cho n-2(vì 2(n-2) chia hết cho n-2)
suy ra n-2 thuộc Ư(7) {1;7}
n-2 bằng 1 suy ra n bằng 3
n-2 bằng 7 suy ra n bằng 9
Vậy n {3;9}
Áp dụng công thức: \(a^{2k+1}+b^{2k+1}⋮a+b\) ta có:
\(1^5+2^5+...+n^5=\left(n^5+1^5\right)+\left[\left(n-1\right)^5+2^5\right]+...⋮n+1\)(1)
Tương tự: \(1^5+2^5+...+n^5=\left[1^5+\left(n-1\right)^5\right]+\left[2^5+\left(n-2\right)^5\right]+....+n^5⋮n\) Do n và n+1 nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow A⋮n\left(n+1\right)\Rightarrow A⋮\frac{n\left(n+1\right)}{2}\Rightarrow A⋮B\left(đpcm\right)\)