CMR: D= 1/2^2 +1/3^2 +.......+ 1/n^2 < 2/3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
8
16 tháng 3 2017
\(D=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...........+\frac{1}{n^2}\)nên ta có\(:\)
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2}\)\(;\)\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2\cdot3}\)\(;\)\(......................\)\(;\)\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\)
Cộng vế với vế nên ta có \(:\)\(D=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.........+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+........+\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\)
\(D< 1-\frac{1}{n}< 1\)
Vậy \(D=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.........+\frac{1}{n^2}< 1\)
ML
16 tháng 3 2017
1/2^2 +1/3^2 +1/4^2 +...+1/n^2 < 1 [1]
_Đặt S(n)=1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 +...+1/n^2
với n=2=>s(n)=1/4<1 (đúng)
_giả sử [1] đúng với n=k>=2 ,tức là
S(k)=1/2^2 +1/3^2 +1/4^2 +...+1/k^2 <1
_ta cần chứng minh [1] đúng với n=k+1, tức là
S(k+1)=1/2^2 +1/3^2 +1/4^2 +...+1/k^2+ 1/(k+1)^2 <1
Thật vậy S(k+1)=S(k) +1/(k+1)^2
mà S(k)<1 với mọi k và (k+1)^2 >=9 (vì k>=2)
khi đó 1/(k+1)^2 < 1
vậy S(k+1) < 1 với mọi k>=2 hay [1] thỏa mãn
JA
1
17 tháng 5 2016
D<1/2.3+1/3.4+...+1/(n-1).n
<=>D<1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n
<=>D<1/2-1/n
<=>D<1(n>0)
26 tháng 2 2020
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2\cdot3};....;\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(\Rightarrow D< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(\Leftrightarrow D< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(\Leftrightarrow D< 1-\frac{1}{n}\)
\(\Leftrightarrow D< 1\left(đpcm\right)\)
26 tháng 2 2020
Với k là số tự nhiên ta có
k²>k²-k=k(k-1)
=>1/k²<1/[k(k-1)]=[(k-(k-1)]/[k(k-1)]=1/(k-1)-1/k.
Áp dụng BĐT trên ta có
D<1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=1-1/n
<1(dpcm)
YK
0
5 tháng 7 2015
câu 2: gọi là A đi.
bước 1: A>1
ta có: \(\frac{e}{d+f}>\frac{e}{d+e+f}\) (khi cùng tử, mẫu càng lớn thì p/s càng nhỏ)
tương tự thì: \(A>\frac{e}{d+f+e}+\frac{d}{d+e+f}+\frac{f}{d+e+f}=\frac{e+d+f}{d+e+f}=1\Rightarrow A>1\)
bước 2: A<2
ta có: nếu a>b thì \(\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\); nếu a<b thì \(\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}\)
vì: d,e,g là 3 cạnh 1 tam giác => d+f>e => \(\frac{e}{d+f}<\frac{e}{d+f}+1=\frac{e+e}{d+f+e}=\frac{2e}{d+f+e}\)
tương tự thì: \(A<\frac{2e}{d+e+f}+\frac{2d}{d+e+f}+\frac{2f}{d+e+f}=\frac{2\left(d+e+f\right)}{d+e+f}=2\)
vậy là xong nha
DK
0
\(D< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
\(D< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
vì n>2
\(D< \frac{1}{1}-\frac{1}{n}< \frac{1}{1}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\left(đpcm\right)\)