cho a,b,c>0 và\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le1\)1
Chứng minh: \(abc\le\frac{1}{8}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NQ
2
Những câu hỏi liên quan
T
8 tháng 2 2020
Bạn từ chứng minh BĐT đầu bài.
a) Áp dụng: \(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+abc}\)
\(=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
b) Với abc = 1. Ta viết BĐT lại thành:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)
Sử dụng cách chứng minh ở câu a.
c) Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\) thì xyz = 1; x, y, z > 0. Đưa về chứng minh:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)
Cách chứng minh tương tự câu b.
PN
5 tháng 7 2020
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
5 tháng 7 2020
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
KK
2 tháng 2 2017
Ta có: \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\le1-\frac{d}{d+1}=\frac{1}{d+1}\\\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{b}{b+1}=\frac{1}{b+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{c+1}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{1}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\\\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{b+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{c+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\end{matrix}\right.\)
Nhân từng vế:
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3d^3}{\left(a+1\right)^3\left(b+1\right)^3\left(c+1\right)^3}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)
\(\Rightarrow1\ge81abcd\)
Vậy \(abcd\le\frac{1}{81}\left(đpcm\right)\)
p/s : lí do tớ tự trả lời câu hỏi của mình là để coi câu trả lời của mình có đúng hay ko thôi nha , mong các bạn đứng có hiểu lầm , nếu bạn nào có cách nào nhanh và gọn hơn thì phiền các bạn chỉ dùm luôn nha.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 2 2017
Mình nghĩ cách làm của bạn là ok rồi đấy
Bản chất là ngắn, có điều bạn trình bày quá cẩn thận nên khiến nó dài thôi. Khuyên chân thành là nếu đi thi sau khi áp dụng quy tắc "tương tự" để đỡ tốn thời gian hơn, cũng k bị mất điểm.
16 tháng 8 2018
Vô lí vì a+b+c=0\(\Rightarrow\frac{5}{a+b+c}\)không có đáp án
21 tháng 7 2020
a) Chứng minh được BĐT \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(*)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
Áp dụng BĐT (*) vào bài toán ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+y+z+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT (*) ta có:
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right);\frac{1}{z+x}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\cdot\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)
\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
21 tháng 7 2020
b) áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\\\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\\\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\end{cases}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT ta có:
\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
13 tháng 11 2018
\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=3-\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+c}\le1\)
\(\Rightarrow T\frac{1}{1+a}\ge2\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
T là pháp cộng với b,c luôn nha, lười ghi.
Tương tự ta có:\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\) và với c nữa
Nhân vế theo vế ta có đpcm
TN
2 tháng 7 2016
Bài 1:
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)
Ta có:\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]\)
Tương tự với \(\sqrt{\frac{y}{y+z}}\)và \(\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Sau đó bình phương hai vế rồi
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)đẳng thức đúng
Vậy...
Bài 2:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}\)
Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau:
\(\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}\)\(\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}\)
\(\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}\)
Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có \(\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}\)\(\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)\)
Từ đó ta có:
\(\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}\)
Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có
\(T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)\)\(\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D
mình ghi nhầm cái số 1 nhỏ nha
mn nếu giải thì bỏ cái số đó đi
+ ta có a,b,c thuộc [0,1]
=> b^2 <= b và c^3 <= c
=> a + b^2 + c^3 - ab - bc - ca <= a + b + c - (ab + bc + ca)
+ mặt # a , b , c thuộc [0,1]
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c) >=0
<> 1- a - b - c + ab + bc + ca - abc >=0
<> a + b + c - (ab + bc + ca) <= 1 - abc
=> a + b + c - (ab + bc + ca) <=1 (abc >= 0)