\(x^2+y^2+z^2=2\)
Tìm GTLN và GTNN của :
\(P=\dfrac{x}{2+yz}+\dfrac{y}{2+zx}+\dfrac{z}{2+xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 12 2023
Ta thấy
72
=
2
3
.
3
2
72=2
3
.3
2
nên a, b có dạng
{
�
=
2
�
3
�
�
=
2
�
.
3
�
{
a=2
x
3
y
b=2
z
.3
t
với
�
,
�
,
�
,
�
∈
N
x,y,z,t∈N và
�
�
�
{
�
,
�
}
=
3
;
�
�
�
{
�
,
�
}
=
2
max{x,z}=3;max{y,t}=2.
Theo đề bài, ta có
2
�
.
3
�
+
2
�
.
3
�
=
42
2
x
.3
y
+2
z
.3
t
=42
⇔
2
�
−
1
.
3
�
−
1
+
2
�
−
1
3
�
−
1
=
7
⇔2
x−1
.3
y−1
+2
z−1
3
t−1
=7 (*), do đó
�
,
�
,
�
,
�
≥
1
x,y,z,t≥1
TH1:
�
≥
�
,
�
≤
�
x≥z,y≤t. Khi đó
�
=
3
,
�
=
2
x=3,t=2. (*) thành:
4.
3
�
−
1
+
3.
2
�
−
1
=
7
4.3
y−1
+3.2
z−1
=7
⇔
�
=
�
=
1
⇔y=z=1
Vậy
{
�
=
24
�
=
18
{
a=24
b=18
(nhận)
TH2: KMTQ thì giả sử
�
≥
�
,
�
≥
�
x≥z,y≥t. Khi đó
�
=
3
,
�
=
2
x=3,z=2. (*) thành
4.
3
�
−
1
+
2.
3
�
−
1
=
7
4.3
y−1
+2.3
t−1
=7, điều này là vô lí.
Vậy
(
�
,
�
)
=
(
24
,
18
)
(a,b)=(24,18) hay
(
18
,
24
)
(18,24) là cặp số duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(A\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=\dfrac{1}{2}\)
\(A_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 1 2021
Ta có:
\(\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{zx}+\dfrac{z}{xy}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{zx}+\dfrac{x}{yz}+\dfrac{z}{xy}+\dfrac{y}{zx}+\dfrac{z}{xy}\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{z}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{x}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}\left(x^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^2+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{2}\left(z^2+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{x^2}}+\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{y^2}}+\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{z^2}}=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 3 2022
\(\dfrac{xy^2}{y^2+2}=\dfrac{xy^2}{\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{y^2}{2}+2}\le\dfrac{xy^2}{3\sqrt[3]{\dfrac{y^4}{2}}}=\dfrac{1}{3}x\sqrt[3]{2y^2}\le\dfrac{1}{9}x\left(2+y+y\right)=\dfrac{2}{9}\left(x+xy\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{yz^2}{z^2+2}\le\dfrac{2}{9}\left(y+yz\right)\) ; \(\dfrac{zx^2}{x^2+2}\le\dfrac{2}{9}\left(z+zx\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{2}{9}\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\le\dfrac{2}{9}\left(x+y+z+\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\right)=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)
20 tháng 11 2021
\(\dfrac{xy}{x+y}=\dfrac{yz}{y+z}=\dfrac{zx}{z+x}\\ \Rightarrow\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{z+x}{zx}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}\\ \Rightarrow x=y=z\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{x^2+x^2+x^2}{x^2+x^2+x^2}=1\)
Ta có: \(x;y;z\ge0\)\(\left(x+y-z\right)^2+x^2y^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2xz+x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\le x^2y^2+4xy+4\)\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le\left(xy+2\right)^2\)\(\Leftrightarrow x+y+z\le xy+2\)
Từ đó \(P=\dfrac{x}{2+yz}+\dfrac{y}{2+xz}+\dfrac{z}{2+xy}\)
Ta có: \(x+y+z\le xy+2\Rightarrow\dfrac{z}{x+y+z}\ge\dfrac{z}{xy+2}\)
\(\Rightarrow P\le\sum\dfrac{z}{x+y+z}=1\)\(\Rightarrow MaxB=1\)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn x=y=1; z=0
Mà:\(x\left(2+yz\right)\le\left(\dfrac{x^2+2}{2\sqrt{2}}\right).\left(2+\dfrac{y^2+z^2}{2}\right)\) (cauchy)
\(=\dfrac{\left(x^2+2\right)\left(4+y^2+z^2\right)}{4\sqrt{2}}\le\dfrac{\left(x^2+2+4+y^2+z^2\right)^2}{16\sqrt{2}}\)(cauchy) = \(\dfrac{\left(2+2+4\right)^2}{16\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{x}{2+yz}\ge\dfrac{x^2}{2\sqrt{2}}\)
Từ đó \(P\ge\sum\dfrac{x^2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (vì \(x^2+y^2+z^2=2\))
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn x=y=0; z=\(\sqrt{2}\)