X^2+y^2+z^2+2x+2y-2z+5 > 0
Cm ho minh vs mn
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 5 2020
\(VT=\sum\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\frac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)}\)
\(VT\ge\sum\sqrt{\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2}=\sum\sqrt{\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(z+x\right)\)
\(VT\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=\sqrt{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
31 tháng 1 2022
\(\text{Cho:}x^2+y^2+z^2=1\text{.Chứng minh rằng:}\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{z+2y}\ge\frac{1}{3}\)
\(\text{Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương, ta có:}\)
\(\frac{9x^3}{y+2z}+x\left(y+2z\right)\ge6x^2;\frac{9y^3}{z+2x}+y\left(z+2x\right)\ge6y^2;\frac{9z^3}{x+2y}+z\left(x+2y\right)\ge6z^3\)
\(\text{Lại có:}\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\text{Do đó:}\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}+3\left(xy+yz+zx\right)\ge6\left(x^2+y^2+x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)-3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\text{Dấu "=" xảy ra }\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
VQ
31 tháng 1 2022
cho minh hoi phan bat dang thuc cosi la ban dung cong thuc the nao ak
22 tháng 5 2017
\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)
BV
11 tháng 3 2019
5(x+y)2+3(x-y)2=8x2+4xy+8y2=4(2x2+xy+2z2)>=5(x+y)2
=> \(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\sqrt{\frac{5\left(x+y\right)^2}{4}}\)= \(\frac{\sqrt{5}\left(x+y\right)}{2}\)
Tương tự. Cộng lại là ra nha. Dấu = xảy ra <=> x=y=z=1/3
\(x^2+y^2+z^2+2x+2y-2z+5\)
\(=\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)+2\)
\(=\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2+2\)
Vì \(\left(x+1\right)^2\ge0;\left(y+1\right)^2\ge0;\left(z-1\right)^2\ge0\forall x;y;z\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge2\forall x;y;z\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2>0\left(đpcm\right)\)
Sửa hộ dòng thứ 5 là \(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-1\right)^2+2\ge2\forall x;y;z\)nha