Cho O là một điểm nằm trong tam giác ABC có chu vi bằng 2p. CMR p < OA + OB + OC < 2p
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 5 2017
A B C O D
Gọi \(\left\{D\right\}=AO\cap BC\)
\(\Delta BOC:OB+OC>BC\) (1)
\(\Delta AOC:OA+OC>AC\) (2)
\(\Delta AOB:OA+OB>AB\) (3)
Từ (1), (2), (3)\(\Rightarrow2\left(OA+OB+OC\right)>AB+AC+BC\)
\(\Rightarrow OA+OB+OC>\dfrac{2P}{2}=P\) (4)
\(\Delta ACD:AC+DC>AD=AO+OD\) (5)
\(\Delta BOD:BD+OD>BO\) (6)
Từ (5), (6)\(\Rightarrow AC+BD+DC+OD>AO+BO+OD\)
\(\Rightarrow AC+BC>AO+BO\) (7)
Chứng minh tương tự ta được:
AB+BC>AO+CO (8)
AB+AC>BO+CO (9)
Từ (7),(8) ,(9)\(\Rightarrow2\left(AB+AC+BC\right)>2\left(OA+OB+OC\right)\)
\(\Rightarrow AB+AC+BC=2P>OA+OB+OC\) (10)
Từ (4), (10)\(\Rightarrow P< OA+OB+OC< 2P\)
Chúc bạn học tốt
6 tháng 6 2019
A B C D O 1 2 3 4
Có : \(AB< OA+OB;BC< OB+OC;CD< OC+OD;DA< OD+OA\)
\(P_{ABCD}=2p=AB+BC+CD+DA< 2\left(OA+OB+OC+OD\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(p< OA+OB+OC+OD\)
Lại có : \(OA< AB-OB;OB< BC-OC;OC< CD-OD;OD< DA-OA\)
Cộng vế theo vế từng bđt trên ta được :
\(OA+OB+OC+OD< AB+BC+CD+DA-\left(OA+OB+OC+OD\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\left(OA+OB+OC+OD\right)< AB+BC+CD+DA\) (*)
Có tiếp -,- :
\(OA< AB+OB;OA< DA+OD\)\(\Rightarrow\)\(2OA< AB+DA+OB+OD\)
\(OB< AB+OA;OB< BC+OC\)\(\Rightarrow\)\(2OB< AB+BC+OA+OC\)
\(OC< BC+OB;OC< CD+OD\)\(\Rightarrow\)\(2OC< BC+CD+OB+OD\)
\(OD< CD+OC;OD< DA+OA\)\(\Rightarrow\)\(2OD< CD+DA+OC+OA\)
\(\Rightarrow\)\(2\left(OA+OB+OC+OD\right)< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)+2\left(OA+OB+OC+OD\right)\)
\(< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)+\left(AB+BC+CD+DA\right)\) ( kết hợp với (*) )
\(\Rightarrow\)\(2\left(OA+OB+OC+OD\right)< 3\left(AB+BC+CD+DA\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(OA+OB+OC+OD< 3.\frac{AB+BC+CD+DA}{2}=3.\frac{2p}{2}=3p\)
Vậy \(p< OA+OB+OC+OD< 3p\)