Cho tam giác ABC Cm cotA+cotB+cotC >=\(\sqrt{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ST
0
CC
1
17 tháng 3 2019
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
trước hết ta tìm cot B và cot C trong tam giác, Việc kẻ đường cao AH cho ta ngay kết quả:
cotB+cotC=BHAH+CHAH=BCAHcotB+cotC=BHAH+CHAH=BCAH
Lại nhận thấy AM 
AH (do t/c đường xiên lớn hơn đg vuông góc).
Hơn nữa dùng giả thiết BM 
CN ta có GM = 1/2BC
Như vậy BC=2GM=2AM3≥2AH3v=>cotB+cotC=BCAH≥23BC=2GM=2AM3≥2AH3v=>cotB+cotC=BCAH≥23
DT
1
N
20 tháng 1 2019
Xét trong 1 tam giác:
\(\tan A+\tan B+\tan C=\tan\left(A+B\right).\left(1-\tan A.\tan B\right)+\tan C\)
\(=\tan\left(\pi-C\right)\left(1-\tan A.\tan B\right)+\tan C\)
\(=\tan A.\tan B.\tan C\)
☕ Quay lại bài toán, cần chứng minh \(\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}\ge\sqrt{3}\)
Theo AM-GM:
\(VT^2\ge3\left(\dfrac{1}{\tan A.\tan B}+\dfrac{1}{\tan B.\tan C}+\dfrac{1}{\tan C.\tan A}\right)\)
\(=\dfrac{3\left(\tan A+\tan B+\tan C\right)}{\tan A.\tan B.\tan C}=3\). Suy ra đpcm