Cho a, b, c dương và a + b + c = 2. Tìm GTLN của \(\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2c+ab}+\sqrt{2b+ac}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 8 2021
\(\dfrac{\sqrt{ab}}{a+c+b+c}\le\dfrac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(A\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)=\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
30 tháng 12 2021
\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}=ab\cdot\sqrt{\dfrac{1}{a+b}\cdot\dfrac{1}{b+c}}\le ab\cdot\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\)
CMTT: \(\dfrac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\right);\dfrac{ac}{\sqrt{ac+2b}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{b+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{c+b}+\dfrac{bc}{b+a}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{b+c}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{a+b}\right]=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=1\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
DP
26 tháng 2 2019
Ta có: \(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{a+b+a+c}{2}\)
C/m tương tự \(\sqrt{2b+ac}\le\frac{b+a+b+c}{2}\)
\(\sqrt{2c+ab}\le\frac{c+a+c+b}{2}\)
\(\Rightarrow Q\le\frac{a+b+a+c+b+a+b+c+c+a+c+b}{2}=\frac{4\left(a+b+c\right)}{2}=4\)
Dấu "=" khi a = b = c = 2/3
T
25 tháng 10 2019
Chú ý: \(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\) là ok liền:D
30 tháng 6 2020
Mấy bạn ơi , cho tớ hỏi:
Luật tính điểm hỏi đáp là gì?
Làm thế nào để câu trả lời của mình đứng đầu tiên trong các câu trả lời?
Ai trả lời nhanh mình tích cho.
6 tháng 6 2017
Câu này giải như sau :
Ta có :
\(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2a+bc}\le\frac{a+b+a+c}{2}=\frac{2a+b+c}{2}\left(1\right)\)
tương tự ta có :\(\sqrt{2b+ac}\le\frac{2b+a+c}{2}\left(2\right)\)
\(\sqrt{2c+ac}\le\frac{2c+a+c}{2}\left(3\right)\)
cộng vế với vế 1,2,3 ta được
\(Q\le\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3.2}{2}=3\)\(\Rightarrow Q_{max}=3\Leftrightarrow\)dấu "=" (a,b,c) là hoán vị của \(\left(0.1.1\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 5 2021
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)
Đặt A = \(\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\)
Áp dụng BĐT bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
\(A^2=\left(\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2a+bc+2b+ac+2c+ab\right)\)Mà ta lại có: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) (bn tự cm)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{4}{3}\)
Từ đó \(A^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2.2+\dfrac{4}{3}\right)=16\)
Hay \(A\le4\). Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
\(S=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2c+ab}+\sqrt{2b+ac}\\ \Rightarrow\dfrac{32}{9}S=2\sqrt{2a+bc}\cdot\dfrac{16}{9}+2\sqrt{2c+ab}\cdot\dfrac{16}{9}+2\sqrt{2b+ac}\cdot\dfrac{16}{9}\\ \le2a+bc+\dfrac{16}{9}+2c+ab+\dfrac{16}{9}+2b+ac+\dfrac{16}{9}\\ =ab+ac+bc+2a+2b+2c+\dfrac{16}{3}\\ \le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+2\left(a+b+c\right)+\dfrac{16}{3}\\ =\dfrac{4}{3}+4+\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\a+b+c=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
Vậy \(S_{Max}=\dfrac{32}{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)