Question

[Nguyễn Trần Duy Thiệu]

Cho hai số a,b thỏa mãn a+b=2

Cmr \(0< \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\le2\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Đặt \(\sqrt[3]{a}=x; \sqrt[3]{b}=y\). Khi đó ta có $x^3+y^3=2$ và cần chứng minh \(0< x+y\leq 2\).

Thật vậy.

Ta thấy: \(x^3+y^3=2>0\)

\(\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)>0(1)\)

Mà \(x^2-xy+y^2=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}\geq 0(2)\)

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra \(x+y>0\)

Lại có:

\(4(x^3+y^3)-(x+y)^3=3(x^3+y^3)-3(x^2y+xy^2)\)

\(=3[x^2(x-y)-y^2(x-y)]=3(x-y)^2(x+y)\)

Vì $x+y>0$ (cmt) và $(x-y)^2\geq 0$ nên \(4(x^3+y^3)-(x+y)^3\geq 0\)

\(\Rightarrow 4(x^3+y^3)\geq (x+y)^3\) hay \(8\geq (x+y)^3\Rightarrow x+y\leq 2\)

Ta có đpcm.