Cho a,b,c dương và \(a^2+b^2+c^2=3.\)Tìm min \(P=\sqrt{3+a}+\sqrt{3+b}+\sqrt{3+c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 6 2015
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\left(a+b\right)^2-3ab}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2-\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}}=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{\left(a+b\right)}{2}\)
tượng tự...
A>=3
26 tháng 12 2015
\(P=\frac{a^4}{a\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^4}{b\sqrt{a^2+3}}+\frac{c^4}{c\sqrt{a^2+3}}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{a^2+3}+c\sqrt{a^2+3}}\)
Ta co : \(2a\sqrt{b^2+3}+2b\sqrt{c^2+3}+2c\sqrt{a^2+3}\le\frac{4a^2+b^2+3}{2}+\frac{4b^2+a^2+3}{2}+\frac{4a^2+c^2+3}{2}\)
=> \(2\left(a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3}\right)\le\frac{5\left(a^2+b^2+c^2\right)+9}{2}\) = \(\frac{5.3+9}{2}=12\)
=> \(a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3}\le6\)
=> \(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi : \(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{b^2}{\sqrt{c^2+3}}=\frac{c^2}{\sqrt{a^2+3}}\)
\(2a=\sqrt{b^2+3};2b=\sqrt{c^2+3};2c=\sqrt{a^2+3}\)
\(a^2+b^2+c^2=3\)
=> a = b= c = 1
TN
8 tháng 1 2018
Another way: \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ac\right)}=3\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}\ge\frac{11a}{18}-\frac{5}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{\left(a-1\right)^2\left(121a^3-192a^2-480a+200\right)}{-324a^3-2592}}{\frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}+\frac{11a}{18}-\frac{5}{18}}\ge0\forall0< a\le1\)
TƯơng tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{b^2}{\sqrt{b^3+8}}\ge\frac{11b}{18}-\frac{5}{18};\frac{c^2}{\sqrt{c^3+8}}\ge\frac{11c}{18}-\frac{5}{18}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\frac{11\left(a+b+c\right)}{18}-\frac{5}{18}\cdot3\ge1\)
"=" khi \(a=b=c=1\)
9 tháng 7 2019
Câu 1 : áp dụng BĐT SVAC ta có \(A\ge\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}}=\frac{1.\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2.}(\sqrt{b+c}+\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c})}\)
mặt khác lại có \(\frac{\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}\ge\frac{\sqrt{(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})^2}}{\sqrt{2}.\sqrt{3}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)theo bđt svac
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{\sqrt{6}}\)dấu bằng xảy ra tại a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
KK
19 tháng 3 2017
\(P=\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\)
\(P=\dfrac{a^4}{\sqrt{a^2\left(b^2+3\right)}}+\dfrac{b^4}{\sqrt{b^2\left(c^2+3\right)}}+\dfrac{c^4}{\sqrt{c^2\left(a^2+3\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{a^2\left(b^2+3\right)}+\sqrt{b^2\left(c^2+3\right)}+\sqrt{c^2\left(a^2+3\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a^2\left(b^2+3\right)}\le\dfrac{a^2+b^2+3}{2}\\\sqrt{b^2\left(c^2+3\right)}\le\dfrac{b^2+c^2+3}{2}\\\sqrt{c^2\left(a^2+3\right)}\le\dfrac{c^2+a^2+3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2\left(b^2+3\right)}+\sqrt{b^2\left(c^2+3\right)}+\sqrt{c^2\left(a^2+3\right)}\le\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}{2}=\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{a^2\left(b^2+3\right)}+\sqrt{b^2\left(c^2+3\right)}+\sqrt{c^2\left(a^2+3\right)}}\ge\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{9}=2\)
Vì \(VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{a^2\left(b^2+3\right)}+\sqrt{b^2\left(c^2+3\right)}+\sqrt{c^2\left(a^2+3\right)}}\)
\(\Rightarrow VT\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\ge2\)
\(\Leftrightarrow P\ge2\)
Vậy \(P_{min}=2\)
23 tháng 5 2016
đặt (với a, b, c > 0). Khi đó phương trình đã cho trở thành:
a = b = c = 2
Suy ra: x = 2013, y = 2014, z = 2015.
Chắc là tìm MaxP
Có 9=3(a2+b2+c2)\(\ge\)(a+b+c)2
=>a+b+c\(\le\)3
Có P2=\(\left(\sqrt{3+a}+\sqrt{3+b}+\sqrt{3+c}\right)\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(9+a+b+c\right)\)
=>P2\(\le\)3.12=36
=>P2\(\le\)6
Dấu = xảy ra <=> a2=b2=c2 và \(\frac{\sqrt{3+a}}{1}=\frac{\sqrt{3+b}}{1}=\frac{\sqrt{3+c}}{1}\) và a2+b2+c2=3
<=> a=b=c=1