CM rằng \(^{a^2}\) + \(b^2\) + \(c^2\) \(\ge\) ab + bc + ca với mọi a;b;c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2
27 tháng 4 2022
`a) 2 ( a^2 + b^2 ) >= ( a + b )^2`
`<=> 2a^2 + 2b^2 >= a^2 + 2ab + b^2`
`<=> a^2 - 2ab + b^2 >= 0`
`<=> ( a - b )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b`)
`=>` Đẳng thức được c/m
_________________________________________
`b) a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca`
`<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ca`
`<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc + c^2 ) + ( c^2 - 2ca + a^2 ) >= 0`
`<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b,c`)
`=>` Đẳng thức được c/m
20 tháng 3 2018
a) \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
20 tháng 3 2018
Câu a :
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b\)
Câu b :
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( đúng )
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2019
Biến đổi tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}\ge3\)
b/ \(VT=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+ac+bc\right)}{9\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)^2}}\ge\frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 4 2019
a/
Biến đổi tương đương:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(a^2y+b^2x\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+b^2xy+2abxy\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT ban đầu đúng (đpcm), dấu "=" xảy ra khi \(ay=bx\)
b/
Mở rộng cho 3 số, ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Vậy \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với x, y, z dương
Mặt khác ta luôn có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) \(\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Áp dụng:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{\left(a^2\right)^2}{ab}+\frac{\left(b^2\right)^2}{bc}+\frac{\left(c^2\right)^2}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 2 2020
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\)
Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b}{3}-\frac{c}{3}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c}{3}-\frac{a}{3}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
MH
1
28 tháng 2 2016
\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ca+c^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)
HĐT này đúng với mọi x
AT
2
AT
17 tháng 7 2017
Ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(c^2+a^2\ge2ca\)
Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta có:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)
CHÚC BẠN HỌC TỐT........
OT
17 tháng 7 2017
ta có : \(\left(a-b-c\right)^2\ge0\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\forall a;b;c\)
vậy \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) với mọi \(a;b;c\) (đpcm)
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)( Bất đẳng thức luôn đúng )
Vậy \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\forall a;b;c\)
Tham khảo nhé~
cách khác:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
<=> \(a^2-2ab+b^2\ge0\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
Tương tự: \(b^2+c^2\ge2bc;\)\(c^2+a^2\ge2ca\)
Cộng theo vế ta được:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) \(\forall a,b,c\)