Với a + b + c = 1và a,b,c > 0
CMR: \(\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{2+b}+\frac{3c}{3+c}\le\frac{6}{7}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DK
1
7 tháng 9 2017
ta có:\(\frac{a}{a+1}=1-\frac{1}{a+1};\frac{2b}{2+b}=2-\frac{4}{2+b};\frac{3c}{3+c}=3-\frac{9}{3+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{2+b}+\frac{3c}{3+c}\le\left(1+2+3\right)-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{4}{b+2}+\frac{9}{c+3}\right)\)
\(\le6-\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+1+2+3}=6-\frac{36}{7}=\frac{6}{7}\left(Q.E.D\right)\)
22 tháng 7 2019
3.Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)ta có
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+2b+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{9}ab.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
TT \(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}\right)\)
=> \(VT\le\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\Sigma.\frac{1}{9}.\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{ba}{a+c}\right)=\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
22 tháng 7 2019
cảm ơn bạn nhiều, bạn có thể giúp mình hai câu kia nữa được không
VH
3 tháng 4 2020
\(M=\left(a-\frac{6}{a+1}\right)+\left(2b-\frac{3}{b+1}\right)+\left(3c-\frac{2}{c+1}\right)\)
\(M=\left(a+2b+3c\right)-6\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2b+2}+\frac{1}{3c+3}\right)\)
\(M\le6-\frac{6.\left(1+1+1\right)^2}{a+1+2b+2+3c+3}\)
\(M\le6-\frac{6.9}{6+6}=6-\frac{9}{2}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=3;b=1;c=\frac{1}{3}\)