Question

[Mạc Cửu]

Cho đường tròn (O;R) và dây cug AB cố định ko đi qua tâm O , C và D là 2 điểm di động trên cug lớn AB sao cho AD và BC luôn sog sog. Gọi M là giao điểm của AC và BD. C/m

a) tứ giác AOMB nội tiếp

b) OM ⊥ BC

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) Ta thấy: \(AD\parallel BC\rightarrow \widehat{MBC}=\widehat{MDA}\) (so le trong)

Mà \(\widehat{MBC}=\widehat{MAD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung $DC$)

\(\Rightarrow \widehat{MDA}=\widehat{MAD}\)

Do đó: \(\widehat{AMB}=\widehat{MAD}+\widehat{MDA}=2\widehat{MDA}(1)\)

Mà \(2\widehat{MDA}=\widehat{AOB}(2)\) (góc nội tiếp chắn một cung thì bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn cung đó)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{AOB}\). Suy ra tứ giác $AOMB$ nội tiếp.

b)

Theo phần a vì tứ giác $AOMB$ nội tiếp nên \(\widehat{OMA}=\widehat{OBA}\)

Cũng từ kết quả phần a cũng suy ra \(\widehat{OMD}=\widehat{OAB}(=180^0-\widehat{OMB})\)

Mà \(\widehat{OBA}=\widehat{OAB}\) do tam giác $OAB$ cân tại $O$

Do đó \(\widehat{OMA}=\widehat{OMD}\Rightarrow MO\) là phân giác góc \(\widehat{AMD}\)

Theo đã cm ở phần a thì \(\widehat{MDA}=\widehat{MAD}\) nên tam giác $MAD$ cân tại $M$

Do đó phân giác $MO$ đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow MO\perp AD\). \(AD\parallel BC\Rightarrow MO\perp BC\)

Answer 2

[Hà Trần]

Thêm 1 câu phần c nữa là

CMR:Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua 1 điểm cố định