Cho x,y,z >0
CM Xy/z+xz/y+zy/x>=z+y+z
Giúp minh với
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PM
1
30 tháng 4 2018
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\left(1\right)\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2x\left(2\right)\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\left(3\right)\)
Cộng vế (1) ; (2) và (3) và chia mỗi vế cho 2
\(\Rightarrow\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\ge x+y+z\left(đpcm\right)\)
HQ
2
11 tháng 8 2017
Ta có BĐT \(x^2+1\ge2x\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\in R\)
Tương tự: \(y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)
Và BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x,y,z\in R\)
Cộng theo vế 2 BĐT (1);(2) ta có:
\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge45\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge42\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge21\)
Khi x=y=z=1
11 tháng 8 2017
Sửa đề : cho \(CM:x^2+y^2+z^2\ge21\)
Ta có : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xy-2xz\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)(1)
Ta lại có : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+3\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge2x+2y+2z-3\)(2)
Cộng vế với vế của (1); (2) lại ta được :
\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xy+2x+2y+2z-3\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge45-3=42\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{42}{2}=21\)(đpcm)
DM
0
T
5 tháng 6 2019
#)Góp ý :
Mời bạn tham khảo :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
Mình sẽ gửi link này về chat riêng cho bạn !
LD
6 tháng 6 2019
Tham khảo qua đây nè :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%Ân-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017
tk cho mk nhé
7 tháng 3 2021
Dễ dàng chứng minh được:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với \(a,b,c>0\)(1)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Theo đề bài, vì x, y, z > 0 nên áp dụng (1), ta có:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)(2)
Vì x y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(3)
Chứng mih tương tự, ta được;
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(4);
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(5)
Từ (3), (4), (5), ta được:
\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\)\(\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
7 tháng 3 2021
Mà theo đề bài, \(x+y+z\ge3\) nên:
\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{2}\left(6\right)\)
Từ (2) và (6), ta được:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)(điều phải chứng minh)
Dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy nếu x, y, z > 0 và \(x+y+z\ge3\)thì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2 ( a > 0 ; b > 0)
Ta có : \(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\) = \(x\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\right)\) ≥ 2x ( x > 0 ; y > 0 ; z > 0) (1)
\(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{zy}{x}=z\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\) ≥ 2z ( x > 0 ; y > 0 ; z > 0) ( 2)
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{zy}{x}=y\left(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\) ≥ 2y ( x > 0 ; y > 0 ; z > 0) ( 3)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3)
⇒\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\) + \(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{zy}{x}\) + \(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{zy}{x}\) ≥ 2x + 2y + 2z
⇔ \(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{zy}{x}\) ≥ x + y + z
Dễ thôi
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\ge x+y+z\)
\(xyz(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y})\ge xyz(x+y+z)\)
\(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2\ge x^2yz+xz^2y+y^2zx\)\(2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2\ge2x^2yz+2xz^2y+2y^2zx\)
\((x^2y^2-2x^2yz+x^2z^2)+(y^2z^2-2y^2zx+x^2y^2)+(x^2z^2-2yz^2x+y^2z^2)\ge0\)
\(\left(xy-xz\right)^2+\left(xz-yz\right)^2+\left(yz-xy\right)^2\ge0\left(lđ\right)\)