1. Tìm các cặp số nguyên \(\left(x;y\right)\) thoả mãn: \(x^3+3x=x^2y+2y+5\)
2. Một đa thức P(x) chia cho \(x^2+x+1\) thì dư \(1-x\) và chia cho \(x^2-x+1\) thì dư \(3x+5\). Tìm số dư của phép chia P(x) cho \(x^4+x^2+1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
0
TT
2
18 tháng 9 2021
\(y\left(x-1\right)=x^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-y\left(x-1\right)+\left(x-1\right)+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-y+1\right)=-3\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-1=-1\\x-y+1=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=3\\x-y+1=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\x-y+1=-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=-3\\x-y+1=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=6\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;-2\right),\left(4;6\right),\left(2;6\right),\left(-2;-2\right)\right\}\)
18 tháng 9 2021
Ta có \(y\left(x-1\right)=x^2+2\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-x^2=2\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-x^2+1=3\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-\left(x^2-1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-x-1\right)=3\)
Vì x,y nguyên nên ta có bảng
| x-1 | 3 | 1 | -1 | -3 |
| y-x-1 | 1 | 3 | -3 | -1 |
| x | 4 | 2 | 0 | -2 |
| y | 6 | 8 | 2 | 4 |
Vậy\(\left(x,y\right)=\left\{\left(4,6\right),\left(2,8\right),\left(0,2\right),\left(-2,4\right)\right\}\)thỏa mãn
23 tháng 12 2016
Mình gợi ý phần đầu nè. Xét \(x=0\) riêng được \(y=0\) hoặc \(y=1\).
Xét \(x\ne0\). Khi đó \(x\) và \(x^2+x+1\) nguyên tố cùng nhau với mọi \(x\) nguyên khác 0.
(Ở đây ta chỉ định nghĩa 2 số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ước chung lớn nhất là 1 nên số âm vẫn được).
Để CM điều này ta gọi \(d=gcd\left(x^2+x+1,x\right)\) thì \(1⋮d\).
Vế trái là một số chia hết cho 4 nên trong 2 số \(x\) và \(x^2+x+1\) phải có một số chia hết cho 4
(Nếu mỗi số đều chia hết cho 2 thì không thể nguyên tố cùng nhau)
Trường hợp 1: \(x⋮4\) còn \(x^2+x+1\) lẻ.
Do \(y\) và \(y-1\) có 1 số chẵn và 1 số lẻ nên số chẵn sẽ là ước của \(x\) còn số lẻ là ước của \(x^2+x+1\).
Tức là có 2 trường hợp: \(x=4y\) và \(x=4\left(y-1\right)\).
Trường hợp 2 ngược lại.
Tới đây bạn tự giải được nha.
23 tháng 12 2016
\(x\left[1+x+x^2\right]=4y\left[y-1\right]\)
\(\Leftrightarrow x^3+x^2-4y^2+x+4y=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left[x+1\right]+x-4y^2+4y=0\)
\(\Leftrightarrow\Delta=b^2-4ac=1-16xy+16xy^2-16y+16y^2\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x1=\frac{-1+\sqrt{1-16xy+16xy^2-16y+16y^2}}{2x+2}\\x2=\frac{-1-\sqrt{1-16xy+16xy^2-16y+16y^2}}{2x+2}\end{cases}}\)
đến đây tự làm tiếp nhé
17 tháng 8 2023
Ta thấy \(2x^2< 4\) \(\Leftrightarrow x^2< 2\) \(\Leftrightarrow x^2=1\) (do \(x\ne0\))
Thế vào pt đề bài, ta có \(3+\dfrac{y^2}{4}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y^2}{4}=1\)
\(\Leftrightarrow y^2=4\)
\(\Leftrightarrow y=\pm2\)
Vậy, các cặp số (x; y) thỏa ycbt là \(\left(1;2\right);\left(-1;-2\right);\left(1;-2\right);\left(-1;2\right)\)
1. \(x^3+3x=x^2y+2y+5\)
\(\Leftrightarrow x^3+3x-x^2y-2y-5=0\)
\(\Leftrightarrow(x^3+2x)-(x^2y+2y)+x-5=0\)
\(\Leftrightarrow x(x^2+2)-y(x^2+2)=5-x\)
\(\Leftrightarrow(x^2+2)\left(x-y\right)=5-x\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)=\dfrac{5-x}{2^2+2}\)
Vì x,y nguyên nên x-y nguyên
\(\Rightarrow5-x⋮x^2+2\)
\(\Rightarrow x-5⋮x^2+2\)
\(\Rightarrow(x-5)\left(x+5\right)⋮x^2+2\)
\(\Rightarrow x^2-25⋮x^2+2\)
\(\Rightarrow x^2+2-27⋮x^2+2\)
\(\Rightarrow27⋮x^2+2\)
=> \(x^2+2\) thuộc tập hợp ước dương của 27 ( vì \(x^2+2>0\))
\(\Rightarrow x^2+2\in\left\{1;3;9;27\right\}\)
\(\Rightarrow x^2\in\left\{-1;1;7;25\right\}\)
Mà \(x^{ }\) là số nguyên
=> \(x^2\in\left\{1;25\right\}\)
=> \(x\in\left\{-5;-1;1;5\right\}\)
Ta có bảng:
Vậy ...
Còn phần 2 bạn xem câu hỏi Le chi , mình đã trả lời giúp bạn ấy rồi