Cho 0 < a, b, c < 2 và A + b + c = 3. Chứng minh ab + bc + ca > 2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 7 2019
\(\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a-bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{a-bc}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a-bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\left(a-bc\right)\sqrt{\frac{1}{\left(a+b\right)^2\left(c+a\right)^2}}\le\frac{\frac{a-bc}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{\left(c+a\right)^2}}{2}=\frac{a-bc}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{2\left(c+a\right)^2}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{b-ca}{b+ca}\le\frac{b-ca}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{b-ca}{2\left(a+b\right)^2}\)\(;\)\(\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{c-ab}{2\left(c+a\right)^2}+\frac{c-ab}{2\left(b+c\right)^2}\)
=> \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{a-bc+b-ca}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{b-ca+c-ab}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{a-bc+c-ab}{2\left(c+a\right)^2}\)
\(\frac{\left(a+b\right)\left(1-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(1-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)\left(1-a\right)}{2\left(b+c\right)\left(1-a\right)}+\frac{\left(c+a\right)\left(1-b\right)}{2\left(c+a\right)\left(1-b\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
NT
0
10 tháng 4 2021
1. Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2=ab+bc+ca và a+b+c=3. Tính M=a2016+2015b2015+2020c
a2+b2+c2=ab+bc+ca
<=> 2( a2+b2+c2 ) =2( ab+bc+ca )
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ca + a2 ) = 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 = 0
Dễ chứng minh VT ≥ 0 ∀ a,b,c. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Lại có a+b+c=3 => a=b=c=1
từ đây bạn thế vào tính M nhé :))
10 tháng 4 2021
2.Cho x>y>0. Chứng minh \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
Ta có : \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x-y}{x+y}\)
<=> \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-\frac{x-y}{x+y}>0\)
<=> \(\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{x^3+x^2y-xy^2-y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{x^3-x^2y+xy^2-y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{x^3+x^2y-xy^2-y^3-x^3+x^2y-xy^2+y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{2x^2y-2xy^2}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{2xy\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)( đúng vì x > y > 0 )
=> đpcm
NA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 3 2020
\(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ca< 0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+c^2+2ab+2bc+2bc< c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)< c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(a+b+c\right)^2< c^2\)
Do \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2+\left(a+b+c\right)^2\ge a^2+b^2\)
\(\Rightarrow c^2>a^2+b^2\)
15 tháng 4 2019
1. (a+b)^2 ≥ 4ab
<=> a2+2ab+b2≥ 4ab
<=> a2+2ab+b2-4ab≥ 0
<=> a2-2ab+b2≥ 0
<=> (a-b)^2 ≥ 0 ( luôn đúng )
15 tháng 4 2019
2. a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
<=> (a^2- 2ab+b^2) + (b^2-2bc+c^2) + (c^2-2ca+a^2) ≥ 0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0 ( luôn đúng)
KK
0