cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Cm :\(\dfrac{a}{2+b-a}\) +\(\dfrac{b}{2+c-b}\)+\(\dfrac{c}{2+a-c}\)\(\ge\)1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 1 2019
3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :
\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)
\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)
Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :
\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
7 tháng 2 2019
Do a , b ,c đối xứng , giả sử a \(\ge b\ge c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\ge b^2\ge c^2\\\dfrac{a}{b+c}\ge\dfrac{b}{a+c}\ge\dfrac{c}{a+b}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Trê - bư -sép ta có :
\(a^2.\dfrac{a}{b+c}+b^2.\dfrac{b}{a+c}+c^2.\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}.\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\)Vậy \(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{a+c}+\dfrac{c^3}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}\) Dấu bằng xảy ra khi a = b =c = \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
DM
9 tháng 5 2017
Ùi mình làm theo kiểu khác thử :V, nhưng có hơi hướng giống và bổ sung :D
Câu 2 : a,b,c > 0. CM : \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
Giải :
C1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}\left(ĐPCM\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\).
C2 : Đầy đủ hơn với cách giải đúng của bạn Hoàng Thiên Di :
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương (sgk là cosi :v)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=1+1+1+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\)
\(\ge3+2+2+2=9\left(ĐPCM\right)\)
Câu 3 : a,b,c > 0. CM : \(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6\)
Giải :
\(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\ge6\)
Theo bất đẳng thức Cosi : \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{yx}}=2\)
Thay vào các vế được : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{ba}}=2\sqrt{1}=2\)
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ac}{ca}}=2\sqrt{1}=2\)
\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{cb}}=2\sqrt{1}=2\)
\(\Leftrightarrow2+2+2\ge6\) (đúng)
BĐT được c/m.
30 tháng 5 2017
b. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a+c+a+b}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+2b+2c}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
MD
30 tháng 5 2017
a) Áp dụng BĐT Cauchy :
Ta có: \(x+\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{x^2+1}{x}\) \(\ge\) \(\dfrac{2x}{x}\) = 2 => đpcm
=> Dấu = xảy ra khi x = 1
b) Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\) \(\ge\) \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
=> đpcm
=> Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c
HN
14 tháng 7 2017
a/ \(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
\(=\dfrac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^4}{c^3+ac^2+ca^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
HN
14 tháng 7 2017
b/ \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}=\dfrac{a^4}{abc}+\dfrac{b^4}{abc}+\dfrac{c^4}{abc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}\)
\(\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}\)
17 tháng 2 2018
áp dụng bdt côsi \(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{3}{b}\)
tuông tu \(\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{3}{c}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{3}{a}\)
suy ra vt +\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
suy ra dpcm
dau = xay ra khi a=b=c
N
16 tháng 4 2017
Bài 1:ta có BĐt \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)vì nó tương đương với \(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng với a,b>0)
Áp dụng vào bài toán:
\(\dfrac{a^3+b^3}{2ab}+\dfrac{b^3+c^3}{2bc}+\dfrac{c^3+a^3}{2ac}\ge\dfrac{ab\left(a+b\right)}{2ab}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{2bc}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{2ac}=a+b+c\)dấu = xảy ra khi a=b=c
bài 2:
cần chứng minh \(\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}\ge0\)
hay \(\dfrac{a-b}{b+c}+1+\dfrac{b-c}{c+d}+1+\dfrac{c-d}{d+a}+1+\dfrac{d-a}{a+b}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{b+d}{c+d}+\dfrac{c+a}{d+a}+\dfrac{d+b}{a+b}\ge4\)
xét \(VT=\left(a+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\dfrac{1}{c+d}+\dfrac{1}{a+b}\right)\)
Áp dụng BĐT cauchy dạng phân thức:
\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+d}\ge\dfrac{4}{a+b+c+d};\dfrac{1}{c+d}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{4}{a+b+c+d}\)
do đó \(VT\ge\dfrac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\dfrac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=4\)
dấu = xảy ra khi a=b=c=d
AN
1
HN
25 tháng 8 2017
Ta có:
\(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\)
\(=a+b+c-\dfrac{ab^2}{1+b^2}-\dfrac{bc^2}{1+c^2}-\dfrac{ca^2}{1+a^2}\)
\(\ge3-\dfrac{ab^2}{2b}-\dfrac{bc^2}{2c}-\dfrac{ca^2}{2a}\)
\(=3-\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)