Cho 2pt: \(x^2+ax+b=0 \) và \(x^2+cx+d\) có nghiệm chung
CMR:\((b-d)^2+(a-c)(ad-bc)=0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
XO
3 tháng 4 2022
Gọi nghiệm chung phương trình là x2
Phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm
\(x_1+x_2=-a;x_1.x_2=b\)
Tương tự với phương trình x2 + cx + d = 0
=> \(x_3+x_2=-c;x_2.x_3=d\)
Khi đó b - d = x2(x1 - x3)
a - c = x3 - x1
ad - bc = -(x1 + x2).x2.x3 + x1.x2(x3 + x2) = \(x_2^2\left(x_1-x_3\right)\)
Khi đó P = (b - d)2 + (a - c)(ad - bc)
= \(\left[x_2\left(x_1-x_3\right)\right]^2-\left(x_1-x_3\right)x_2^2\left(x_1-x_3\right)=0\)(đpcm)
NN
2
6 tháng 4 2018
Voi x= -1 co ax\(^3\) +bx\(^2\) + cx+d = -a +b-c+d = -( a-b +c -d)=0
DPCM
24 tháng 2 2018
a) ax^2 + bx + c = 0
Để phương trình thỏa mãn điều kiện có 2 nghiệm dương phân biệt.
∆ > 0
=> b^2 - 4ac > 0
x1 + x2 = -b/a > 0
=> b và a trái dấu
x1.x2 = c/a > 0
=> c và a cùng dấu
Từ đó ta xét phương trình cx^2 + bx^2 + a = 0
∆ = b^2 - 4ac >0
x3 + x4 = -b/c, vì a và c cùng dấu mà b và a trái dấu nên b và c trái dấu , vì vậy -b/c >0
x3.x4 = a/c, vì a và c cùng dấu nên a/c > 0
=> phương trình cx^2 + cx + a có 2 nghiệm dương phân biệt x3 và x4
Vậy nếu phương trình ax^2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình cx^2 + bx + a = 0 cũng có 2 nghiệm dương phân biệt.
b) Ta có, vì x1, x2, x3, x4 không âm, dùng cô si.
x1 + x2 ≥ 2√( x1.x2 )
x3 + x4 ≥ 2√( x3x4 )
=> x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 2[ √( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ] (#)
Tiếp tục côsi cho 2 số không âm ta có
√( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ≥ 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] (##)
Theo a ta có
x1.x2 = c/a
x3.x4 = a/c
=> ( x1.x2 )( x3.x4 ) = 1
=> 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] = 2
Từ (#) và (##) ta có đúng k bn
12 tháng 1 2017
Ý tưởng như sau:
\(x^2+ax+1=0\) và \(x^2+bx+c=0\) là 2 pt có nghiệm chung nên hệ pt sau có nghiệm (nhận xét quan trọng):
\(\hept{\begin{cases}x^2+ax+1=0\\x^2+bx+c=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)x=c-1\\x^2+ax+1=0\end{cases}}\)
Do \(a\ne b\) nên thay \(x=\frac{c-1}{a-b}\) xuống pt dưới được: \(\left(\frac{c-1}{a-b}\right)^2+\frac{a\left(c-1\right)}{a-b}+1=0\)
Hay \(\left(c-1\right)^2+a\left(c-1\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)^2=0\)
-----
\(x^2+x+a=0\) và \(x^2+cx+b=0\) có nghiệm chung thì hệ pt sau có nghiệm:
\(\hept{\begin{cases}x^2+x+a=0\\x^2+cx+b=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(c-1\right)x=a-b\\x^2+x+a=0\end{cases}}}\)
Do \(a\ne b\) nên \(c\ne1\), thay \(x=\frac{a-b}{c-1}\) xuống pt dưới được:
\(\left(\frac{a-b}{c-1}\right)^2+\frac{a-b}{c-1}+a=0\) hay \(\left(a-b\right)^2+\left(a-b\right)\left(c-1\right)+a\left(c-1\right)^2=0\)
-----
Đặt \(x=a-b,y=c-1\)
Ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}x^2+axy+y^2=0\\x^2+xy+ay^2=0\end{cases}\Rightarrow\left(a-1\right)xy=\left(a-1\right)y^2}\)
Nhớ rằng \(a=1\) không xảy ra vì khi đó \(x^2+ax+1=0\) vô nghiệm.
Vậy \(a\ne1\), do \(y\ne0\) nên \(x=y\). Tức là \(a-b=c-1\).
Tới đây quay lại mấy cái nghiệm chung sẽ thấy các nghiệm chung đều là \(1\).
Mà như vậy thì \(b+c=-1,a=-2\) nên \(a+b+c=-4\)
Giả sử \(x_0\) là nghiệm chung của hai phương trình
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2_0+ax_0+b=0\left(1\right)\\x^2_0+cx_0+d=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1) - (2)
\(\Rightarrow x_0\left(a-c\right)=-\left(b-d\right)\)
\(\Leftrightarrow x_0^2\left(a-c\right)^2=\left(b-d\right)^2\) (*)
Lấy (1) nhân c; (2) nhân a
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}cx^2_0+acx_0+bc=0\left(3\right)\\ax^2_0+acx_0+ad=0\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (4) -(3)
\(\Rightarrow\left(a-c\right)x^2_0+ad-bc=0\Leftrightarrow\left(a-c\right)x^2_0=-\left(ad-bc\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2x^2_0=-\left(a-c\right)\left(ad-bc\right)\)(**)
Từ (*) và (**) ta được
\(\left(b-d\right)^2=-\left(a-c\right)\left(ad-bc\right)\Leftrightarrow\left(b-d\right)^2+\left(a-c\right)\left(ad-bc\right)\)