Question

[HƯƠNG TRANG]

Tính tổng các số tự nhiên n < 100 biết :

7ⁿ + 4ⁿ chia hết cho 5

Answer 1

[Xyz OLM]

Đặt n = 4k ; n = 4k + 1 ; n = 4k + 2 ; n = 4k + 3 (k \(\inℕ\))

Khi n = 4k 

=> 7^4k = (7⁴)^k = (...1)^k = (...1) ; 

4^4k = (4⁴)^k = (...6)^k = (...6) 

=> 7^4k + 4^4k = (...1) + (...6) = (...7) (loại) (1)

Khi n = 4k + 1 

=> 7^{4k + 1} = 7^4k.7 = (...1).7 = (...7) 

4^{4k + 1} = 4^4k.4 (...6).4 = (...4)

Khi đó 7^{4k + 1} + 4^{4k + 1} = (...7) + (...4) = (...1) (loại) (2)  

Khi n = 4k + 2

=> 7^{4k + 2} = 7^4k.7² = (...1).49 = (...9)

4^{4k + 2} = 4^4k.4² = (...6).6 = (...6) 

=> 7^{4k + 2} + 4^{4k + 2} = (...9) + (...6) = (...5) (tm) (3)

Khi n = 4k + 3

=> 7^{4k + 3} = 7^4k.7³ = (...1).(...3) = (..3)

4^{4k + 3} = 4^4k.4³ = (...6).(..4) = (..4) 

=> 7^{4k + 3} + 4^{4k + 3} = (...3) + (...4) = (...7) (loại) (4) 

Từ (1) (2) (3) (4) => khi n = 4k + 2 thì 7ⁿ + 4ⁿ \(⋮\)5

mà n < 100 

=> 4k + 2 < 100

=> 4k < 98 

=> k < 24.5 (5)

mà k \(\ge\) 0 ; k \(\inℕ\)(6)

Từ (5) và (6) 

=> k \(\in\left\{0;1;2;3;...;24\right\}\)

=> n \(\in\left\{2;6;10;14;...;98\right\}\)