cho a+b\(\ge\)0, chứng minh \(\dfrac{a+b}{2}\)\(\le\)\(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
3 tháng 5 2018
e)
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)
=> ĐPCM
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 8 2021
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{2c\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{2a\left(a+c\right)}}\)
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2a}{2b+a+b}+\dfrac{2b}{2c+b+c}+\dfrac{2c}{2a+a+c}\)
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge2\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)=2\left(\dfrac{a^2}{a^2+3ab}+\dfrac{b^2}{b^2+3bc}+\dfrac{c^2}{c^2+3ca}\right)\)
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ca}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) (đpcm)
8 tháng 8 2021
\(\dfrac{a}{\sqrt{ab+b^2}}=\dfrac{\sqrt{2}.a}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}\ge\dfrac{\sqrt{2}.a}{\dfrac{2b+a+b}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{a+3b}\)
làm tương tự với \(\dfrac{b}{\sqrt{bc+c^2}};\dfrac{c}{\sqrt{ca+a^2}}\)
\(=>P\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\)
\(=2\sqrt{2}\left(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\right)\)
\(=2\sqrt{2}\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{8}{3}\left(ab+bc+ca\right)}\right]\)
\(=2\sqrt{2}\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2}\right]=\dfrac{2\sqrt{2}.3}{4}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
dấu"=" xảy ra<=>a=b=c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 5 2021
Ta có đánh giá sau với a không âm:
\(\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{36a+3}{50}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(36a+3\right)\left(a^2+1\right)\ge50a\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\left(4a+3\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\dfrac{b}{1+b^2}\le\dfrac{36b+3}{50}\) ; \(\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{36c+3}{50}\)
Cộng vế: \(VT\le\dfrac{36\left(a+b+c\right)+9}{50}=\dfrac{9}{10}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
19 tháng 5 2021
Ta chứng minh bđt phụ \(\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{3}{10}+\dfrac{18}{25}\left(a-\dfrac{1}{3}\right)\)
Thật vậy bđt trên \(\Leftrightarrow\dfrac{-3a^2+10a-3}{10\left(1+a^2\right)}-\dfrac{18}{25}\left(a-\dfrac{1}{3}\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{3}\right)\left[\dfrac{3\left(3-a\right)}{10\left(1+a^2\right)}-\dfrac{18}{25}\right]\le0\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{36\left(a-\dfrac{1}{3}\right)^2\left(\dfrac{3}{4}+a\right)}{50\left(1+a^2\right)}\le0\) ( luôn đúng với mọi \(a\)\(\ge\)0)
Tương tự cũng có:\(\dfrac{b}{1+b^2}\le\dfrac{3}{10}+\dfrac{18}{25}\left(b-\dfrac{1}{3}\right)\); \(\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{3}{10}+\dfrac{18}{25}\left(c-\dfrac{1}{3}\right)\)
Cộng vế với vế => VT\(\le\dfrac{9}{10}+\dfrac{18}{25}\left(a+b+c-1\right)=\dfrac{9}{10}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
25 tháng 5 2021
Áp dụng BĐT cosi:
\(a\sqrt{1-b^2}=\sqrt{a^2\left(1-b^2\right)}\le\dfrac{a^2+1-b^2}{2}\)
Tương tự cx có: \(b\sqrt{1-c^2}\le\dfrac{b^2+1-c^2}{2}\)
\(c\sqrt{1-a^2}\le\dfrac{c^2+1-a^2}{2}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1-b^2\\b^2=1-c^2\\c^2=1-a^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2018
Lời giải:
Biến đổi tương đương:
\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}-\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{4}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{4}\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
13 tháng 1 2019
3.
\(\dfrac{2a^2}{b^2}+2\dfrac{b^2}{c^2}+2\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
áp dụng bất đẳng thức cosi
+ \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\dfrac{a}{c}\)
......
tương tự với 2 cái sau
23 tháng 1 2021
*Chứng minh bất đẳng thức
Ta có: \(\forall a,b\ge0\) thì \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\) \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (đpcm)
23 tháng 1 2021
Ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b>0\)(đpcm)
\(\dfrac{a+b}{2}và\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\)
biến đổi vế trái : \(\dfrac{a+b}{2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)(1)
biến đổi vế phải : \(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2-2ab}{2}\)(2)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)dpcm
Chắc chưa học pp c/m bđt -.-