cho 2 số a và b thỏa mãn : a + b = 4 . chứng minh ab < hoặc = 4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 7 2020
Lời giải:
Ta có: $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geq 0$ với mọi $a,b$
$\Leftrightarrow ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$
Do đó: $a^2+b^2=4+ab\leq 4+\frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow a^2+b^2\leq 8(*)$
Mặt khác:
Từ đkđb suy ra $2(a^2+b^2)=2(4+ab)$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2)=8+(a+b)^2\geq 8$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{8}{3}(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow$ đpcm.
9 tháng 4 2021
tính ra bạn ấy hỏi vào năm 2016 khi có người trả lòi thì đã là năm 2020
4 tháng 2 2017
Trước tiên chứng minh:
\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
(nhân vô rút gọn chuyển hết sang trái được)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-6abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b-2abc+c^2b\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)+\left(b^2a-2abc+c^2a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a\sqrt{b}-c\sqrt{b}\right)^2+\left(a\sqrt{c}-b\sqrt{c}\right)^2+\left(b\sqrt{a}-c\sqrt{a}\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ đây ta có:
\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{4\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)}\)
\(\le\frac{9}{4.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\frac{9}{4.3}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(ab+bc+ca\le\frac{3}{4}\)
NP
0
Ta có: \((a+b)^2=16\)
Mà \((a-b)^2\ge0\)
<=>\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
<=>\(a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
<=>\((a+b)^2\ge4ab\)
<=>\(4ab\le16\)
,=>\(ab\le4\)(đpcm)