Tồn tại x,y hay không khi \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}=x+y\)
\(x,y\in Z\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 8 2019
Lời giải:
ĐK: $x,y\geq 0$
Bình phương 2 vế thu được:
\(x+y+2\sqrt{xy}=2\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{xy}=2-x-y\in\mathbb{Z}\)
Nếu $\sqrt{xy}\not\in\mathbb{Z}$ thì $xy\not\in\mathbb{Z}$ (vô lý). Do đó $\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2-x-y=2\sqrt{xy}$ là 1 số nguyên chẵn.
$\Rightarrow x+y$ chẵn. Mà $x+y=2-2\sqrt{xy}\leq 2; x+y\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$ nên $x+y=0$
$\Rightarrow x=y=0$ (do $x,y\geq 0$). Thử lại thấy không đúng.
Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 8 2019
Lời giải:
ĐK: $x,y\geq 0$
Bình phương 2 vế thu được:
\(x+y+2\sqrt{xy}=2\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{xy}=2-x-y\in\mathbb{Z}\)
Nếu $\sqrt{xy}\not\in\mathbb{Z}$ thì $xy\not\in\mathbb{Z}$ (vô lý). Do đó $\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2-x-y=2\sqrt{xy}$ là 1 số nguyên chẵn.
$\Rightarrow x+y$ chẵn. Mà $x+y=2-2\sqrt{xy}\leq 2; x+y\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$ nên $x+y=0$
$\Rightarrow x=y=0$ (do $x,y\geq 0$). Thử lại thấy không đúng.
Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề.
21 tháng 9 2019
Bài làm của em đầu tiên phải giả sử: \(3\ge y\ge x\ge z\ge0\)
Xét dấu nó thì e chỉ cần xét từng cái là được
Cái thứ nhất:
\(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}=\sqrt{y}+\sqrt{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}=\sqrt{y\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow xz=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\z=0\end{cases}}\)
Cái thứ 2:
\(\sqrt{y}+\sqrt{z+x}=\sqrt{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{y\left(x+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\x+z=0\end{cases}}\)
Kết hợp cả 2 điều kiện thì suy ra được
\(x=z=0;y=3\)
S
11 tháng 8 2019
\(\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\)
\(tt:\frac{y-z}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}=\sqrt{y}-\sqrt{z};.....\)
\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+.....-\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}=0\Rightarrow dpcm\)
BN
27 tháng 8 2017
Ta có :VT-VP=
\(\left(\dfrac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\dfrac{y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)+\left(\dfrac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}-\dfrac{z}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}\right)+\left(\dfrac{z}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}-\dfrac{x}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)\(=\dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{y-z}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}+\dfrac{z-x}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}\)\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)=0\)
\(\Rightarrow VT=VP\)
Vậy ...
T
29 tháng 9 2019
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
có thể chọn x = y = 0
Vậy có tồn tại x; y để ....