\(\frac{1}{1^4+4}+\frac{3}{3^4+4}+\frac{5}{5^4+4}+...\frac{(2n-1)}{(2n-1)^4+4} <\frac{1}{4} \)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
2
23 tháng 9 2020
Khi n=1, ta được \(\frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{2.1+1}}\Leftrightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{3}}\) : đúng
giả sử mệnh đề đúng khi n=k\(\left(k\ge1\right)\), tức là \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}\)
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n=k+1, tức là ta phải chứng minh BĐT sau:
\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2\cdot\left(k-1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(2k+1\right)}.\frac{\left(2k+1\right)^2}{4\left(k+1\right)^2}< \frac{1}{\left(2k+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(2k+1\right)^2\left(2k+3\right)< 4\left(k+1\right)^2\left(2k+1\right)\Leftrightarrow0< 2k+1\): luôn đúng
=>mệnh đề đúng với n=k+1
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)với mọi n nguyên dương.
HT
12 tháng 3 2017
a. Ta có: \(\frac{1}{2^2}\)< \(\frac{1}{1.3}\)
\(\frac{1}{4^2}\)< 1/(3.5)
1/(6^2) <1/(5.7)
...
1/(2n)^2 < 1/(2n-1)(2n+1)
=> 1/2^2 +1/4^2 + 1/6^2 +...+1/(2n)^2 < 1/(1.3) +...+1/(2n-1)(2n+1)
=> 2(1/2^2 +1/4^2 + 1/6^2 +...+1/(2n)^2) < (1/1 - 1/3 +1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 +...+ 1/(2n-1) - 1/(2n+1)
=>2(1/2^2 +1/4^2 + 1/6^2 +...+1/(2n)^2) < 1 - 1/(2n+1) = 2n/(2n+1)
=> 1/2^2 +1/4^2 + 1/6^2 +...+1/(2n)^2 < 2n/(2n+1) . 1/2
Vì 2n/2n+1 < 1 => 2n/(2n+1) . 1/2 < 1/2
=> 1/2^2 +1/4^2 + 1/6^2 +...+1/(2n)^2 <1/2
Câu b tương tự
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
26 tháng 9 2024
a; A = \(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{4^2}\) + \(\dfrac{1}{6^2}\) + ... + \(\dfrac{1}{\left(2n\right)^2}\)
A = \(\dfrac{1}{2^2}\).(\(\dfrac{1}{1^2}\) + \(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\) + ... + \(\dfrac{1}{n^2}\))
A = \(\dfrac{1}{4}\).(\(\dfrac{1}{1}\) + \(\dfrac{1}{2.2}\) + \(\dfrac{1}{3.3}\) + ... + \(\dfrac{1}{n.n}\))
Vì \(\dfrac{1}{2.2}\) < \(\dfrac{1}{1.2}\); \(\dfrac{1}{3.3}\) < \(\dfrac{1}{2.3}\); ...; \(\dfrac{1}{n.n}\) < \(\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)
nên A < \(\dfrac{1}{4}\).(\(\dfrac{1}{1}\) + \(\dfrac{1}{1.2}\) + \(\dfrac{1}{2.3}\) + ... + \(\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\))
< \(\dfrac{1}{4.}\)(1 + \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{n-1}\) - \(\dfrac{1}{n}\))
< \(\dfrac{1}{4}\).(1 + 1 - \(\dfrac{1}{n}\))
< \(\dfrac{1}{4}\).(2 - \(\dfrac{1}{n}\))
< \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{4n}\) < \(\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Đặt A=\(\frac{1}{1^4+4}+\frac{3}{3^4+4}+\frac{5}{5^4+4}+...\frac{(2n-1)}{(2n-1)^4+4} \)
4A=\(\frac{4}{1^4+4}+\frac{3.4}{3^4+4}+\frac{5.4}{5^4+4}+...\frac{4(2n-1)}{(2n-1)^4+4} \)
Xét số hạng tổng quát
\((2n-1)^4+4=(2n-1)^4+4(2n-1)^2+4-4(2n-1)^2=((2n-1)^2+2(2n-1)+2)((2n-1)^2-2(2n-1)+2)\)
=>\(\frac{4(2n-1)}{(2n-1)^4+4}=\frac{1}{(2n-1)^2+2(2n-1)+2}-\frac{1}{(2n-1)^2-2(2n-1)+2} \)
Áp dụng vào A
=>\(\frac{1}{1}- \frac{1}{5}+\frac{1}{5} -\frac{1}{9}+...+\frac{1}{4n^2+1}-\frac{1}{(4(n-1)^2+1} \)
=>4A<1
=>A<\(\frac{1}{4} \)
@soyeon_Tiểubàng giải giúp mình