Question

[Đỗ Anh Duy]

...........................

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)

\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\)

\(=\left(x+y+z\right)^3-3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-3xy\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=1\end{cases}}\)

Ta có: \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=1\)

khi và chỉ khi hai trong ba số hạng trên bằng \(0\), số hạng còn lại bằng \(1\).

Giả sử \(\left(x-y\right)^2=1\)khi đó \(\hept{\begin{cases}y-z=0\\z-x=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\)

suy ra \(x-y=0\)mâu thuẫn. 

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.