Với 0 < x < \(\dfrac{4}{3}\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{x^2\left(4-3x\right)}\ge x\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 9 2021
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)
4 tháng 9 2021
a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
22 tháng 5 2022
a: (x-3)(x-2)<0
=>x-2>0 và x-3<0
=>2<x<3
b: \(\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x^2+2\right)\ge0\)
=>(x+3)(x+4)>=0
=>x+3>=0 hoặc x+4<=0
=>x>=-3 hoặc x<=-4
c: \(\dfrac{x-1}{x-2}\ge0\)
=>x-2>0 hoặc x-1<=0
=>x>2 hoặc x<=1
d: \(\dfrac{x+3}{2-x}>=0\)
=>\(\dfrac{x+3}{x-2}< =0\)
=>x+3>=0 và x-2<0
=>-3<=x<2
HH
21 tháng 6 2018
Bài 1:
Ta có a là số dương
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\dfrac{1}{a}>0\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, có:
\(a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{a.\dfrac{1}{a}}\)
\(\Leftrightarrow a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{1}\)
\(\Leftrightarrow a+\dfrac{1}{a}\ge2\left(đpcm\right)\)
Vậy ...
21 tháng 6 2018
làm giúp mình câu 1, còn câu 2 mình biết làm rồi
26 tháng 7 2017
Ta có : (x - 3)(x - 2) < 0
Nên sảy ra 2 trường hợp : D
Th1 : \(\hept{\begin{cases}x-3< 0\\x-2>0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 3\\x>2\end{cases}\Rightarrow}2< x< 3}\)
Th2 : \(\hept{\begin{cases}x-3>0\\x-2< 0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>3\\x< 2\end{cases}\left(loại\right)}}\)
Vậy 2 < x < 3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 5 2021
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\Rightarrow abc=1\)
\(P=\dfrac{a^2bc}{b+c}+\dfrac{ab^2c}{c+a}+\dfrac{abc^2}{a+b}=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(P=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
28 tháng 8 2023
a:
Sửa đề: \(P=\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{3x+3}{9-x}\right)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{x}-7}{\sqrt{x}+1}+1\right)\)
\(P=\left(\dfrac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3x-3}{x-9}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}-7+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{2x-6\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}-3x-3}{x-9}\cdot\dfrac{2\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{-3\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{-6}{\sqrt{x}+3}\)
b: P>=1/2
=>P-1/2>=0
=>\(\dfrac{-6}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{1}{2}>=0\)
=>\(\dfrac{-12-\sqrt{x}-3}{2\left(\sqrt{x}+3\right)}>=0\)
=>\(-\sqrt{x}-15>=0\)
=>\(-\sqrt{x}>=15\)
=>căn x<=-15
=>\(x\in\varnothing\)
c: căn x+3>=3
=>6/căn x+3<=6/3=2
=>P>=-2
Dấu = xảy ra khi x=0
\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2\left(4-3x\right)}-x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2\left(4-3x\right)}-\dfrac{x^3\left(4-3x\right)}{x^2\left(4-3x\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-3x^4+4x^3}{x^2\left(4-3x\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(3x^2+2x+1\right)}{x^2\left(4-3x\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{2}{3}\right)}{x^2\left(4-3x\right)}\ge0\forall0< x< \dfrac{4}{3}\)