Cho \(a,b>0\), tìm: \(MinP=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+4\sqrt{2}\cdot\dfrac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 4 2018
Lời giải:
Với điều kiện đã cho thì hiển nhiên mẫu dương.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(M=\frac{a^2}{2a\sqrt{b}-3a}+\frac{b^2}{2b\sqrt{c}-3b}+\frac{c^2}{2c\sqrt{a}-3c}\)\(\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})-3(a+b+c)}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp BĐT AM-GM:
\((a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})^2\leq (a+b+c)(ab+bc+ac)\)
\(\leq (a+b+c).\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{(a+b+c)^3}{3}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq \sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{3}}\)
\(\Rightarrow M\geq \frac{(a+b+c)^2}{2\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{3}}-3(a+b+c)}\)
Đặt \(\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}=t(t>\frac{3}{2})\)\(\Rightarrow a+b+c=3t^2\)
Ta có:
\(P\geq\frac{9t^4}{6t^3-9t^2}=\frac{3t^2}{2t-3}\)
\(\Leftrightarrow P\geq \frac{\frac{3}{4}(2t-3)(2t+3)}{2t-3}+\frac{27}{4(2t-3)}\)
\(\Leftrightarrow P\geq \frac{3}{4}(2t+3)+\frac{27}{4(2t-3)}=\frac{3}{4}(2t-3)+\frac{27}{4(2t-3)}+\frac{9}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{3}{4}(2t-3)+\frac{27}{4(2t-3)}\geq 2\sqrt{\frac{3}{4}.\frac{27}{4}}=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{9}{2}+\frac{9}{2}=9\)
Vậy \(P_{\min}=9\)
HN
24 tháng 4 2018
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}=x\\\sqrt{b}=y\\\sqrt{c}=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{x^2}{2y-3}+\dfrac{y^2}{2z-3}+\dfrac{z^2}{2x-3}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)-9}\ge9\)
Vì \(\dfrac{t^2}{2t-9}-9=\dfrac{\left(t-9\right)^2}{2t-9}\ge0\) (với \(t=x+y+z\))
31 tháng 3 2017
Bài 2:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Trước hết ta chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\). Ta lại có:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Thiết lập các BĐT tương tự:
\(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c};\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge2\)
Dấu "=" không xảy ra nên ta có ĐPCM
Lưu ý: lần sau đăng từng bài 1 thôi nhé !
31 tháng 3 2017
1) Áp dụng liên tiếp bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với a;b là 2 số dương ta có:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}}{4}\)\(\le\dfrac{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
TT: \(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
\(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{16}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=1\left(đpcm\right)\)
1 tháng 10 2018
Ta có VT =\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{a-b}\)
=\(\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\dfrac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\dfrac{2b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\) =\(\dfrac{a+\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+b-2b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
=\(\dfrac{a-b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
=\(\dfrac{a-b}{a-b}=1=VP\)
13 tháng 7 2018
b)CM: \(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}=0\)
\(VT=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{\left(ab\right)^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=\sqrt{a^2b^2+1}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=0=VP\)
30 tháng 8 2022
a: \(=\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}\left(a-\sqrt{a}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{1}\)
\(=a-1\)
b: \(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}+b+\sqrt{ab}-b}{\sqrt{a}\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
c: \(=\dfrac{a\sqrt{b}+b}{a-b}\cdot\sqrt{\dfrac{ab+b^2-2b\sqrt{ab}}{a^2+2a\sqrt{b}+b}}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{b}\left(a+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\sqrt{\dfrac{b\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{b}\left(a+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\dfrac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a+\sqrt{b}}=b\)