Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt{\left(1+2x\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 4 2016
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, với mỗi số thực x, xét các điểm A(c; x+1); \(B\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\) và \(C\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\)
Khi đó, ta có \(P=\frac{OA}{a}+\frac{OB}{b}+\frac{OC}{c}\) trong đó a=BC, b=CA, c=AB
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có :
\(P=\frac{OA.GA}{a.GA}+\frac{OB.GB}{b.GB}+\frac{OC.GC}{c.GC}=\frac{3}{2}\left(\frac{OA.GA}{a.m_a}+\frac{OB.GB}{b.m_b}+\frac{OC.GC}{c.m_c}\right)\)
Trong đó \(m_a;m_b;m_c\) tương ứng là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A,B, C của tam giác ABC
Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số thực không âm, ta có
\(a.m_a=\frac{1}{2\sqrt{3}}.\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}\)
\(\le\frac{1}{2\sqrt{3}}.\frac{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\)
bằng cách tương tự, ta cũng có \(b.m_b\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\) và \(c.m_c\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\)
Suy ra \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{a^2+b^2+c^2}\left(OA.GA+OB.GB+OC.GC\right)\) (1)
Ta có \(OA.GA+OB.GB+OC.GC\ge\overrightarrow{OA.}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{GC}.\) (2)
\(\overrightarrow{OA.}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{GC}\)
\(=\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}\right).\overrightarrow{GA}+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}\right).\overrightarrow{GB}+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}\right).\overrightarrow{GC}\)
\(=\overrightarrow{OG}.\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+GA^2+GB^2+GC^2\)
\(=\frac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)\) \(=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(P\ge\sqrt{3}\)
Hơn nữa, bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy \(P\ge\sqrt{3}\) khi x=0
Vậy min P=\(\sqrt{3}\)
11 tháng 12 2023
1) \(x^2+2x+1=\left(x+2\right)\sqrt[]{x^2+1}\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+1=x\sqrt[]{x^2+1}+2\sqrt[]{x^2+1}\left(x\ge-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)^2=\left(x\sqrt[]{x^2+1}+2\sqrt[]{x^2+1}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+4x^2+1+4x^3+2x^2+4x=x^2\left(x^2+1\right)+4\left(x^2+1\right)+4x\left(x^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4+4x^3+6x^2+4x+1=x^4+x^2+4x^2+4+4x^3+4\)
\(\Leftrightarrow x^4+4x^3+6x^2+4x+1=x^4+4x^3+5x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2=3\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt[]{3}\left(Tm.x\ge-2\right)\)
Vậy nghiệm của phương trình \(\left(1\right)\) là \(x=\pm\sqrt[]{3}\)
11 tháng 12 2023
2) \(P=\sqrt[]{x^2-2x+13}+4\sqrt[]{x-3}\)
Ta có :
\(\sqrt[]{x^2-2x+13}=\sqrt[]{x^2-2x+1+12}=\sqrt[]{\left(x-1\right)^2+12}\ge\sqrt[]{12}=2\sqrt[]{3},\forall x\in R\)
\(4\sqrt[]{x-3}\ge0,\forall x\ge3\)
\(\Rightarrow P=\sqrt[]{x^2-2x+13}+4\sqrt[]{x-3}\ge\sqrt[]{4+12}+0=4\left(khi.x=3\right),\forall x\ge3\)
Vậy \(Min\left(P\right)=4\left(tại.x=3\right)\)
NT
1
19 tháng 9 2021
\(A=\sqrt{\left(2020-2x\right)^2}+\sqrt{\left(2019-2x\right)^2}-2\)
\(=\left|2020-2x\right|+\left|2019-2x\right|-2\)
\(=\left|2020-2x\right|+\left|2x-2019\right|-2\)
\(\ge\left|2020-2x+2x-2019\right|-2=\left|1\right|-2=-1\)
Dấu "=" xảy ra <=> ( 2020 - 2x )( 2x - 2019 ) ≥ 0 <=> 2019/2 ≤ x ≤ 1010
Vậy MinA = -1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 7 2021
1.
Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$A=|x+2|+|x+3|=|x+2|+|-x-3|\geq |x+2-x-3|=1$
Vậy GTNN của $A$ là $1$. Giá trị này đạt tại $(x+2)(-x-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow (x+2)(x+3)\leq 0$
$\Leftrightarrow -3\leq x\leq -2$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 7 2021
2. ĐKXĐ: $x\geq 1$
\(B=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{(x-1)+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(x-1)-2\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|\)
\(=|\sqrt{x-1}+1|+|1-\sqrt{x-1}|\geq |\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}|=2\)
Vậy gtnn của $B$ là $2$. Giá trị này đạt tại $(\sqrt{x-1}+1)(1-\sqrt{x-1})\geq 0$
$\Leftrightarrow 1-\sqrt{x-1}\geq 0$
$\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2$
Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:
\(A=\sqrt{\left(1+2x\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)
\(=\left|1+2x\right|+\left|2x-3\right|\)
\(=\left|1+2x\right|+\left|-\left(2x-3\right)\right|\)
\(=\left|1+2x\right|+\left|-2x+3\right|\)
\(\ge\left|1+2x+\left(-2x\right)+3\right|=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(-\dfrac{1}{2}\le x\le\dfrac{3}{2}\)