Question

[Phạm Vũ Ngọc Duy]

giúp nha mấy chú;

Tìm tất cả số nguyên a để a^2 + 3xa + 5 là số chính phương

Answer 1

[Anh Triêt]

Đặt: \(a^2+3a+5=k^2\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow4a+12a+20=4k^2\)

\(\Rightarrow\left(4a^2+6a\right)+\left(6a+9\right)+11=4k^2\)

\(\Rightarrow2a\left(2a+3\right)+3\left(2a+3\right)+11=4k^2\)

\(\Rightarrow\left(2a+3\right)\left(2a+3\right)+11=4k^2\)

\(\Rightarrow\left(2a+3\right)^2+11=\left(2k\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2a+3\right)^2-\left(2k\right)^2=-11\) ( * )

Ta sẽ chứng minh: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

Thật vậy, ta có: \(a^2-b^2=a^2-ab+ab-b^2=a\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)\(\RightarrowĐpcm\)

Áp dụng vào ( * ), ta có: \(\left(2a+3-2k\right)\left(2a+3+2k\right)=-11\)

Vì \(a,k\in N\) nên \(2a+3+2k\in N\) và \(2a+3-2k\le2a+3+2k\)

\(\Rightarrow2a+3-2k,2a+3+2k\inƯ\left(-11\right)\)

Mà \(Ư\left(-11\right)=\left\{-11;-1;1;11\right\}\) nên ta có các trường hợp sau:

* Trường hợp 1: \(2a+3-2k=-1\) và \(2a+3+2k=11\)

\(\Rightarrow2a+3=2k-1\Rightarrow2k-1+2k=11\Rightarrow4k=12\Rightarrow k=3\)

\(\Rightarrow2a+3=2.3-1=5\Rightarrow a=1\)

* Trường hợp 2: \(2a+3-2k=-11\) và \(2a+3+2k=1\)

\(\Rightarrow2a+3=2k-11\Rightarrow2k-11+2k=1\Rightarrow4k=12\Rightarrow k=3\)

\(\Rightarrow a=-4\)

Vậy \(a=1\) hoặc \(a=-4\) là giá trị cần tìm

Answer 2

[Anh Triêt]

Ông Phạm Vũ Ngọc Duy kia tại sao câu nào trong đề ông cũng đi hỏi hết vậy, tự mà tl đi ông cố