CMR: 1<\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}< 2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HR
10 tháng 1 2018
Ta có: a,b,c>0 => \(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}\) (1)
Tương tự:
+) \(\dfrac{b}{a+b+c}< \dfrac{b}{b+c}\) (2)
+) \(\dfrac{c}{a+b+c}< \dfrac{c}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1), (2), (3)
=> \(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\)
<=> \(1< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\)(*)
Ta lại có: a,b,c>0 => \(\dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+c}{a+b+c}\) (4)
Tương tự:
+) \(\dfrac{b}{b+c}< \dfrac{b+a}{a+b+c}\) (5)
+) \(\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{c+b}{a+b+c}\) (6)
Cộng vế với vế (4), (5), (6)
=> \(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+b}{c+b+a}\)
<=> \(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}< 2\) (**)
Từ (*), (**) => đpcm
24 tháng 9 2017
\(A=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\)
Vì \(a;b;c\) là các số thực dương nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a+b}>\dfrac{a}{a+b+c}\\\dfrac{b}{b+c}>\dfrac{b}{a+b+c}\\\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo 3 vế :
\(A>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=1\)(1)
Vì \(a;b;c\) là 3 số thực dương nên \(\dfrac{a}{a+b};\dfrac{b}{b+c};\dfrac{c}{c+a}< 1\) nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+c}{a+b+c}\\\dfrac{b}{b+c}< \dfrac{a+b}{a+b+c}\\\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{b+c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo 3 vế:
\(A< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(1< A< 2\)
KK
27 tháng 2 2017
Theo bất đẳng thức tam giác
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}b+c-a>0\\c+a-b>0\\a+b-c>0\end{matrix}\right.\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\forall a,b>0\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{2}{b}\\\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+c-b}\ge\dfrac{2}{c}\\\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{a+c-b}\ge\dfrac{2}{a}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo từng vế
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+c-b}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+c-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ( đpcm )
19 tháng 7 2018
Ta có : \(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+c}{a+b+c}\left(1\right)\)
\(\dfrac{b}{a+b+c}< \dfrac{b}{b+c}< \dfrac{b+a}{a+b+c}\left(2\right)\)
\(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{c}{a+c}< \dfrac{c+b}{a+b+c}\left(3\right)\)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , ta có :
\(1< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}< 2\)
9 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}\)
\(=\dfrac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=9\left(a+b+c\le1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a+b}>\dfrac{a}{a+b+c}\\\dfrac{b}{b+c}>\dfrac{b}{a+b+c}\\\dfrac{c}{a+c}>\dfrac{c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}>\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
(1)
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a+b}>\dfrac{a+c}{a+b+c}\\\dfrac{b}{b+c}>\dfrac{a+b}{a+b+c}\\\dfrac{c}{a+c}>\dfrac{b+c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}>\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
(2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrowđpcm\)