Cho a,b>0 và a+b=1. Tìm GTNN của biểu thức:
M=(\(1+\dfrac{1}{a}\))2+(\(1+\dfrac{1}{b}\))2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
XO
3 tháng 2 2023
1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)
\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)
\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)
Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được
\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)
XO
3 tháng 2 2023
2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)
Dấu"=" khi a = 4b
nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được
\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)
\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)
Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)
khi đó a + b = 1
mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 12 2020
\(A=a^2+\dfrac{1}{16a^2}+b^2+\dfrac{1}{16b^2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\)
\(A\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{16a^2}}+2\sqrt{\dfrac{b^2}{16b^2}}+\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\)
\(A\ge1+\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2\ge1+\dfrac{15}{32}.4\)
PT
1
21 tháng 4 2018
Đầu tiên ta chứng minh bđt:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng \(\Rightarrow P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4}{4^2}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow MINP=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=2\)
LN
2
9 tháng 6 2018
Làm lại :v
\(\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{1}{a+b}\)
\(\ge\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{2a+b}+\dfrac{1}{a+b}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab}+\dfrac{b^2}{2ab+b^2}+\dfrac{1}{a+b}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+2ab}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}}+\dfrac{1}{a+b}\)
\(=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\dfrac{3}{2}\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{5}{3}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
9 tháng 6 2018
Thật ra bài này t đã làm rồi,mà méo rảnh đi mò link,bạn rảnh thì có thể tìm nhé
5 tháng 2 2022
\(=\left(1^2+4^2\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\ge\left(1a+4.\dfrac{1}{b}\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{1}{vb^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}\right)\)
Tương tự
\(\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(b+\dfrac{4}{c}\right)\\ \sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(c+\dfrac{4}{a}\right)\\ Do.đó:\\ Q\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+b+c+\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\ \left(a+b+c+\dfrac{36}{a+b+c}\right)\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\ \left[a+b+c+\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}+\dfrac{135}{4\left(a+b+c\right)}\right]\\ \ge\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
TD
5 tháng 2 2022
Cái thứ nhất là tại sao có cái đầu tiên =)) cái thứ 2 dấu bằng xảy ra khi nào :V
3 tháng 8 2021
Ta có: \(P=\left(a^2+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{16b^2}\right)+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
sử dụng bđt cô-si có: \(a^2+\frac{1}{16a^2}\ge\frac{1}{2};b^2+\frac{1}{16b^2}\ge\frac{1}{2};\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}=\frac{4}{2ab}\)
Lại có: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\ge4\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)\ge4\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{16}{\left(a+b\right)^2}=16\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge8\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 9 2021
\(P=\left(a^2+\dfrac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\dfrac{1}{16b^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{16a^2}}+2\sqrt{\dfrac{b^2}{16b^2}}+\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\)
\(P\ge1+\dfrac{15}{32}.\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2\ge1+\dfrac{15}{32}.\left(\dfrac{4}{1}\right)^2=\dfrac{17}{2}\)
\(P_{min}=\dfrac{17}{2}\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
22 tháng 12 2021
\(P=2+\dfrac{2}{b}+a+\dfrac{a}{b}+2+\dfrac{2}{a}+b+\dfrac{b}{a}=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(a+\dfrac{1}{2a}\right)+\left(b+\dfrac{1}{2b}\right)+\left(\dfrac{3}{2a}+\dfrac{3}{2b}\right)+4\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{a.\dfrac{1}{2a}}+2\sqrt{b.\dfrac{1}{2b}}+2\sqrt{\dfrac{3}{2a}.\dfrac{3}{2b}}+4=6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\sqrt{ab}}\)
Ta lại có: \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2.b^2}=2ab\left(BĐT.Cauchy\right)\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge4ab\Rightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\sqrt{ab}}\ge6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=6+5\sqrt{2}\)
\(minP=6+5\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki,ta có:
\(\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)+\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)\)\(\geq\) \(\dfrac{\left(1+1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}\)\(\geq\) \(\dfrac{\left(1+1+\dfrac{4}{a+b}\right)^2}{2}\) = \(\dfrac{\left(2+4\right)^2}{2}\) =18
Từ đó suy ra: \(\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)+\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)\)\(\geq\) 18
Dấu = xảy ra khi a=b= \(\dfrac{1}{2}\)
Vậy MinM = 18 khi và chỉ khi a=b=\(\dfrac{1}{2}\)
ủa trước khi đăng câu hỏi nó ko hiện cái bảng có n~ Câu hỏi tương tự à? Vào tìm hộ cái