Cho a+b>=1 . CMR: a4+b4>1/8
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 12 2020
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng phía so với 0, không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b
\(\Rightarrow ab\ge0\)
Mặt khác do \(c\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-c^2\ge0\\1-c\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2ab\left(1-c\right)+1-c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2ab+1\ge2abc+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+2ab+1\ge a^2b^2+2abc+c^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+c\right)^2\le\left(1+ab\right)^2\le\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\) (1)
Từ giả thiết:
\(a^2+b^2+c^2\le1+2abc\Leftrightarrow a^2b^2-2abc+c^2\le1-a^2-b^2+a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-c\right)^2\le\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\) (2)
Nhân vế với vế (1) và (2):
\(\left(ab+c\right)^2\left(ab-c\right)^2\le\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+2a^2b^2c^2\ge a^4+b^4+c^4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi 1 số bằng 1 và 2 số bằng nhau
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 1 2019
\(\left(\dfrac{1}{a}-1\right)\left(\dfrac{1}{b}-1\right)\left(\dfrac{1}{c}-1\right)=\left(\dfrac{1-a}{a}\right)\left(\dfrac{1-b}{b}\right)\left(\dfrac{1-c}{c}\right)\)
\(=\left(\dfrac{b+c}{a}\right)\left(\dfrac{a+c}{b}\right)\left(\dfrac{a+b}{c}\right)\ge\dfrac{2\sqrt{bc}}{a}.\dfrac{2\sqrt{ac}}{b}.\dfrac{2\sqrt{ab}}{c}=8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NC
17 tháng 8 2020
a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:
\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
NC
17 tháng 8 2020
b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
6 tháng 3 2018
Ta có : \(a+b>1>0\) (1)
Bình phương hai vế: \(\left(a+b\right)^2>1\Rightarrow a^2+2ab+b^2>1\left(2\right)\)
Mặt khác : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(3\right)\)
Cộng từng vế của (2) và (3): \(2\left(a^2+b^2\right)>1\Rightarrow a^2+b^2>\dfrac{1}{2}\left(4\right)\)
Bình phương hai vế của (4) : \(a^4+2a^2b^2+b^4>\dfrac{1}{4}\left(5\right)\)
Mặt khác \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Rightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\left(6\right)\)
cộng từng vế của (5) và (6) : \(2\left(a^4+b^4\right)>\dfrac{1}{4}\Rightarrow a^4+b^4>\dfrac{1}{8}\)(đpcm)
ta có: a+b=1 => (a+b)2=1
a2+2ab+b2=1 (1)
Mặt khác: (a-b)2\(\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\) (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế:
2(a2+b2) > 1
a2+b2> \(\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4>\dfrac{1}{4}\) (3)
\(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\) (4)
cộng (3) và (4) vế theo vế:
2(a4+b4) >\(\dfrac{1}{4}\)
=> \(a^4+b^4>\dfrac{1}{8}\left(đpcm\right)\)
Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)mà a+b=1
\(\Rightarrow ab< \dfrac{1}{4}\Rightarrow a^2b^2< \dfrac{1}{16}\)
Mặt khác \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4>2.\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{8}\)