Với a, b>0 , cmr :
1/a + 1/b >= 4/a+b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
1
1 tháng 4 2017
xét hiệu \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)
vì (a-b)2>=0
mà a,b>0 nên ab>0;a+b>0
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{ab}\ge0\)
hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{ab}\left(dpcm\right)\)
NA
0
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: Theo đề bài: \(VT=\left(a-1\right)+\frac{1}{\left(a-1\right)}+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=2+1=3^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-1\right)=\frac{1}{a-1}\Leftrightarrow a=2\)
Bài 2: \(BĐT\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)^2\ge4\left(a^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)
\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (đúng). Đẳng thức xảy ra khi a = 0
Bài 3: Hình như sai đề thì phải ạ. Nếu a = 1,5 ; b = 1 thì \(\frac{19}{10}=1,9< 3\)
NN
1 tháng 4 2017
c) Áp dụng BĐT cô si cho 2 hai số dương \(a;b\) ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b\)
PA
2 tháng 8 2017
b)
Đề: Cho a, b, c > 0 và abc = ab + bc + ca. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{3}{16}\)
~ ~ ~ ~ ~
\(abc=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\), ta có:
\(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left[\frac{3}{2\left(a+c\right)}+\frac{3}{2\left(b+c\right)}+\frac{3}{2\left(a+b\right)}\right]\)
\(=\frac{3}{8}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(\le\frac{3}{32}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{3}{16}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Từ BĐT trên ,ta có:
\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\) \(\geq\) \(\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a+b}{ab}\) \(\geq\) \(\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b)(a+b) \(\geq\) 4ab
\(\Leftrightarrow\) (a+b)2 \(\geq\) 4ab
\(\Leftrightarrow\) a2 +2ab+b2\(\geq\) 4ab
\(\Leftrightarrow\) a2+2ab+b2-4ab \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) a2-2ab+b2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a-b)2 \(\geq\) 0 (luôn đúng)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a=b
Từ đó ta chứng minh được BĐT : \(\dfrac{1}{a}\) +\(\dfrac{1}{b}\)\(\geq\) \(\dfrac{4}{a+b}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\) (1)
\(\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\) (2)
ta có:
\(\left(a+b\right)^2\ge\left(a-b\right)^2\) và \(\left(a-b\right)^2\ge4ab\)
nên \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) (3)
từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\) hay \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)(đpcm)