cho a,b dương và m là số tự nhiên khá 0. cmr: (1+a/b)^m+ (1+b/a)^m>=2^(m+1)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
16 tháng 9 2021
\(\frac{a}{b}-\frac{a+m}{b+m}=\frac{ab+am-ab-bm}{b\left(b+m\right)}=\frac{m\left(a-b\right)}{b\left(b+m\right)}\)
\(\frac{a}{b}>1\Rightarrow a>b>0\)
Nếu \(m>0\)thì \(\frac{m\left(a-b\right)}{b\left(b+m\right)}>0\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\).
Nếu \(m< 0\)thì \(\frac{m\left(a-b\right)}{b\left(b+m\right)}< 0\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\).
R
21 tháng 6 2017
m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab)) = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1
B1
23 tháng 8 2017
Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD)
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD)
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD).
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3
15 tháng 10 2017
ta ví dụ a/b = 5/4
ta có 5/4 ... 5+1/4+1
= 5/4 ... 6/5
ta quy đồng được :5/4 = 25/20 ; 6/5 = 24/20
=> a/b > a+m/b+m
15 tháng 10 2017
Ta có : a/b = a*(b+m)/b*(b+m) = ab+am/b*(b+m)
a+m/b+m = (a+m)*b/(b+m)*b = ab+bm/b*(b+m)
Vì a/b > 1 => a > b hay am > bm
Vậy ab+am/b*(b+m) > ab+bm/b*(b+m) Hay a/b > a+m/b+m
HS
17 tháng 4 2020
Nếu bạn đã từng tự rủa bản thân vì quá ngu...thì đúng là bạn ngu thật. Chỉ có loại ngu mới đi chửi chính mình.
-Triết lý anh Sơn-
2c, \(x^2\left(1+y^2\right)+y^2\left(1+z^2\right)+z^2\left(1+x^2\right)\ge6xyz\\
\)
Á djt mẹ nãy dùng BĐT quá k nhớ ra là còn có cả trường hợp âm không dùng BĐT được...nên xử lí luôn he? :))
Nếu trong 3 số \(x,y,z\)có 1 hoặc 3 số âm, ta có \(6xyz\le0\le x^2\left(1+y^2\right)+y^2\left(1+z^2\right)+z^2\left(1+x^2\right)\) (ĐPCM)
Nếu trong 3 số \(x,y,z\)có 2 số âm hoặc có 3 số dương thì xét như nhau (nói âm dương là vậy chứ thiết nhất là em ghi \("\ge0"\)và \("\le0"\)cho nó chuẩn nhất ;))
Có: \(x^2\left(1+y^2\right)+y^2\left(1+z^2\right)+z^2\left(1+x^2\right)\ge2x^2y+2y^2z+2z^2x\)(1) (Bất đẳng thức Cô-si)
Ta cần chứng minh: \(2x^2y+2zy^2+2xz^2\ge6xyz\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{2x^2y}{xyz}+\frac{2zy^2}{xyz}+\frac{2xz^2}{xyz}=2\frac{x}{z}+2\frac{y}{x}+2\frac{z}{y}\ge6\)(2)
Đến đây có thể làm theo 2 cách, nhưng thôi anh làm cách nhanh hơn :))
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho 2 bộ số \(\left(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right)\)và \(\left(x,y,z\right)\)trong đó \(x,y,z\ge0\). Khi đó:
\(\frac{\left(\sqrt{x}\right)^2}{z}+\frac{\left(\sqrt{y}\right)^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{z}\right)^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{x+y+z}\)
Thay vào (2) ta có:\(2\frac{x}{z}+2\frac{y}{x}+2\frac{z}{y}\ge2\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{x+y+z}\ge6\)(3)
Từ (1), (2) và (3) => ĐPCM
Đến đây có lẽ chú sẽ nghĩ: Dựa vào đâu mà cha này bảo \(\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{x+y+z}\ge3\)???
Thì câu trả lời đây: \(\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{x+y+z}\ge3\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\ge3\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x+2y+2z-2\sqrt{xy}-2\sqrt{yz}-2\sqrt{zx}=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
12 tháng 3 2022
Câu hỏi của Adminbird - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
NC
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 10 2024
Lời giải:
Bổ sung điều kiện $a,b$ là số tự nhiên.
$\frac{a}{b}-\frac{a+m}{b+m}=\frac{a(b+m)-b(a+m)}{b(b+m)}$
$=\frac{m(a-b)}{b(b+m)}$
$=\frac{m}{b+m}.(\frac{a}{b}-1)>0$ do $\frac{a}{b}>1$ và $\frac{m}{b+m}>0$ với $m,b$ tự nhiên.
$\Rightarrow \frac{a}{b}> \frac{a+m}{b+m}$
V
14 tháng 10 2017
Câu này lớp 7
Ta có : a/b > 1
=> a > b > 0
=> a ; b \(\in N\)
Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{a.\left(b+m\right)}{b\left(b+m\right)}=\frac{a.b+a.m}{b^2+b.m}\)
\(\frac{a+m}{b+m}=\frac{\left(a+m\right)b}{\left(b+m\right).b}=\frac{a.b+b.m}{b^2+b.m}\)
Vì a > b => ( a.b + a.m ) > ( a.b + b.m )
=> \(\frac{a.b+a.m}{b^2+b.m}>\frac{a.b+b.m}{b^2+b.m}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\)
15 tháng 10 2017
Không phải,câu này là toán nâng cao lớp 5 mà.Cô giáo mik in cho cả quyển.
Theo bất đẳng thức Cô-Si thì \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4\). Suy ra \(\left(1+\frac{a}{b}\right)^m\left(1+\frac{b}{a}\right)^m\ge4^m.\)
Do đó \(\left(1+\frac{a}{b}\right)^m+\left(1+\frac{b}{a}\right)^m\ge2\sqrt{\left(1+\frac{a}{b}\right)^m\left(1+\frac{b}{a}\right)^m}\ge2\sqrt{4^m}=2\cdot2^m=2^{m+1}.\)