Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số\(f\left(x\right)=\frac{1}{1-x}+\frac{9}{3+x}\)với (\(-3< x< 1\))
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 7 2017
ĐK \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne9\end{cases}}\)
a, \(R=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\frac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\)
\(=\frac{3x-6\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}=\frac{3\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+3}\)
b. \(R< -1\Rightarrow R+1< 0\Rightarrow\frac{3\sqrt{x}-9+\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}< 0\Rightarrow\frac{4\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+3}< 0\)
\(\Rightarrow0\le x< \frac{9}{4}\)
c. \(R=\frac{3\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+3}=3+\frac{-18}{\sqrt{x}+3}\)
Ta thấy \(\sqrt{x}+3\ge3\Rightarrow\frac{-18}{\sqrt{x}+3}\ge-6\Rightarrow3+\frac{-18}{\sqrt{x}+3}\ge-3\Rightarrow R\ge-3\)
Vậy \(MinR=-3\Leftrightarrow x=0\)
N
21 tháng 5 2016
Áp dụng cô-si \(\frac{2}{x-3}+\frac{2}{5-x}\ge2\sqrt{\frac{2}{x-3}.\frac{2}{5-x}}\)=\(\frac{4}{\sqrt{\left(x-3\right)\left(5-x\right)}}\)
A = \(\frac{5}{\sqrt{\left(x-3\right)\left(5-x\right)}}\)
Mà \(\sqrt{\left(x-3\right)\left(5-x\right)}\le\frac{x-3+5-x}{2}=1\)(theo cô-si)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\left(x-3\right)\left(5-x\right)}}\ge1\)
nên A\(\ge\)5
Dấu bằng xảy ra khi x-3=5-x <=> x=4 (thỏa mãn ĐK 3<x<5)
Vậy Amin =5 khi x=4
11 tháng 12 2018
Sửa lại đề: \(M=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}+\frac{1}{\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2-x\right)^2}\)
12 tháng 12 2018
\(M=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}+\frac{1}{\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2-x\right)^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(x-1\right)^3\left(2-x\right)^3}}=\frac{3}{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}\)
\(=\frac{-3}{x^2-3x+2}=\frac{-3}{\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)-\frac{1}{4}}=\frac{-3}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}\ge\frac{-3}{-\frac{1}{4}}=12\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\left(x-1\right)^2}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}=\frac{1}{\left(2-x\right)^2}\\\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}}\)
...
28 tháng 5 2017
the mình, ta nên đặt x-1=a , 2-x=b sao cho a,b>0, ta đc a+b=1 thì biểu thức S có dạng:
S= 1/a2+ 1/b2 + 1/ab = (1/a2 + 1/b2 - 2/ab) + 3/ab =(1/a - 1/b)2 + 3/ab.
Ta có (a+b)2 >= 4ab nên thay a+b=1 vào ta được 1>= 4ab
suy ra 1/ab >= 4 suy ra tiếp 3/ab >=12
mà (1/a - 1/b)2 >=0 nên S >= 12
dấu bằng sảy ra khi a=b=1/2 nên x=3/2
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
7 tháng 7 2021
\(f\left(x\right)=3x+\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{3}{4}\left(2x+1\right)+\frac{3}{4}\left(2x+1\right)+\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}-\frac{3}{2}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\left[\frac{3}{4}\left(2x+1\right)\right]^2.\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{9}-\frac{3}{2}\)
Dấu \(=\)khi \(\frac{3}{4}\left(2x+1\right)=\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^3=\frac{8}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}-\frac{1}{2}\).
Tổng mẫu =hằng số=> áp dụng BĐT đưa mẫu về hằng số
Mình trình bầy cho bạn cách khác xuất phát từ gốc của vấn đề
Tất nhiên đi từ gốc --> mệt hơn nhưng rất vững kể cả bài toán có suy biến chút ít.
\(f\left(x\right)=\frac{1}{1-x}+\frac{9}{3+x}=\frac{3+x}{\left(1-x\right)\left(3+x\right)}+\frac{9\left(1-x\right)}{\left(3+x\right)\left(1-x\right)}=\frac{12-8x}{-x^2-2x+3}\)
Với điều kiện (*) -3<x<1 => mẫu số luôn >0; tử số có thể >0 hoặc <0. =>vậy thêm vào tử một đại lượng. sao cho tử luôn không âm hoặc luôn âm.
Ta có: \(\frac{12-8x}{-x^2-2x+3}-4=\frac{12-8x-4\left(-x^2-2x+3\right)}{\left(-x^2-2x+3\right)}=\frac{12-8x+4x^2+8x-12}{\left(-x^2-2x+3\right)}=\frac{4x^2}{\left(-x^2-2x+3\right)}\)
Mẫu số >0 lý luận trước: Tử số =4x^2>=0
\(\Rightarrow\frac{4x^2}{\left(-x^2-2x+3\right)}\ge0\Rightarrow\frac{12-8x}{\left(-x^2-2x+3\right)}-4\ge0\Rightarrow\frac{12-8x}{\left(-x^2-2x+3\right)}\ge4\)GTNN=4 khi x=0 thủa mãn điều kiện (*)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(f\left(x\right)=\frac{1}{1-x}+\frac{9}{3+x}=\frac{1}{1-x}+\frac{3^2}{3+x}\)
\(\ge\frac{\left(1+3\right)^2}{1-x+3+x}=\frac{4^2}{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\)