\(a+b+c=0\) and \(abc=12\).Evaluate\(a^3+b^3+c^3\)
cách làm nữa
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
22 tháng 4 2020
Cách 3 :
\(a+b+c\ge2+abc\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge6+3abc\)
Từ điều kiện ta có thể suy ra : \(a+b+c\ge3\)
Từ đó ta có : \(6\le\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Đến đây ta cần chứng minh : \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)+3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)(Đây là hệ quả của Cô-si)
22 tháng 3 2020
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\ge3\sqrt[3]{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\)
=> \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2\ge3\\1\ge abc\end{cases}}\)
Có: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\ge3+6=9\)
=> \(a+b+c\ge3=2+1\ge2+abc\)
TD
1
NV
3
12 tháng 2 2017
Ta có đẳng thức sau :
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)(Cách c/m:
Ta có :a+b+c=0=>a+b=-c
=> \(\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3=>a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=\left(-c\right)^3\)
Mà a+b=-c=>\(a^3+b^3-3abc=\left(-c\right)^3\)
=>\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Tại abc=12
=>3.12=36
Chúc bạn học tốt
=Mà a+b=-c
12 tháng 2 2017
Ta có: a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
nên a3+b3+c3=(a+b)3-3ab(a+b)+c3 (1)
Ta có: a+b+c=0 => a+b=-c (2)
Thay (2) vào (1) ta có:
a3+b3+c3=(-c)3-3ab(-c)+c3=-c3+3abc+c3=3abc
Mà abc=12
=>a3+b3+c3=36
LH
0
T
8 tháng 2 2020
Bạn từ chứng minh BĐT đầu bài.
a) Áp dụng: \(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+abc}\)
\(=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
b) Với abc = 1. Ta viết BĐT lại thành:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)
Sử dụng cách chứng minh ở câu a.
c) Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\) thì xyz = 1; x, y, z > 0. Đưa về chứng minh:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)
Cách chứng minh tương tự câu b.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 6 2021
\(\dfrac{a^3}{b\left(c+2\right)}+\dfrac{b}{3}+\dfrac{c+2}{9}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3b\left(b+2\right)}{27b\left(c+2\right)}}=a\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{c\left(a+2\right)}+\dfrac{c}{3}+\dfrac{a+2}{9}\ge b\)
\(\dfrac{c^3}{a\left(b+2\right)}+\dfrac{a}{3}+\dfrac{b+2}{9}\ge c\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{9}+\dfrac{2}{3}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{5\left(a+b+c\right)}{9}-\dfrac{2}{3}\ge\dfrac{15}{9}-\dfrac{2}{3}=1\)
CN
0
BP
1
28 tháng 12 2016
Ta có
(a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0
<=> a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
<=> a3 + b3 + c3 = 3abc = 3.12 = 36
Trước hết ta phải cần chứng minh \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta có
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-c\)
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=0^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3\left(ab+ac\right)\left(a+b+c\right)=0\)
mà a + b + c = 0
và a + b = -c
Thay a + b = -c và a + b + c = 0 vào bt trên ta được
\(a^3+b^3+c^3-3abc+0=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
mà abc = 12
\(\Rightarrow3abc=12.3=36\)
Hay \(a^3+b^3+c^3=36\)
Chúc bạn học tốt =))