cho a,b,c>0
CMR: a^3/b + b^3/c + c^3/a >= ab + bc + ca
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
M
0
LQ
2
PN
24 tháng 3 2016
Dễ dàng chứng minh được với \(a,b>0:\)
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^3}{b}+b^2\ge a\left(a+b\right)\) \(\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị theo bđt trên, ta có:
\(\frac{b^3}{c}+c^2\ge b\left(b+c\right)\) \(\left(2\right)\) và \(\frac{c^3}{a}+a^2\ge c\left(c+a\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) vế theo vế, ta được:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)=ab+bc+ca+\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vì \(a,b,c>0\) nên \(a^2+b^2+c^2\ne0\)
Do đó, trừ cả hai vế của bđt trên cho \(a^2+b^2+c^2\) ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh, tức là:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c\)
31 tháng 3 2016
a3/b+b3/c+c3/a=a4/ab+b4/bc+c4/ca>=(a2+b2+c2)2/ab+bc+ac>=(ab+bc+ca)2/ab+bc+ca=ab+bc+ca
dấu đẳng thức xảy ra<=>x=y=z
HP
1
11 tháng 5 2016
Áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
a^3/b +a^3/b +b^2 \(\ge\)3.a^2
\(\Rightarrow\)2a^3/b +b^2>=3a^2
Tương tự : +2b^3/c +c^2 \(\ge\)3.b^2 (1)
+2c^3/a +a^2 \(\ge\)3.c^2 (2)
Ta cộng (1) và (2) được :
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) \(\ge\)3.(a^2+b^2+c^2)
\(\Rightarrow\)a^3/b+b^3/c+c^3/a \(\ge\)a^2+b^2+c^2
Mặt khác : a^2+b^2+c^2 \(\ge\)ab+bc+ca
Nên : a^3/b+b^3/c+c^3/a \(\ge\)ab+bc+ca
Vậy đpcm
HT
4
24 tháng 3 2016
a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2
=>2a^3/b +b^2>=3a^2
tương tự
2b^3/c +c^2 >=3.b^2
2c^3/a +a^2 >=3.c^2
cộng lại ta được
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2
mặt khác
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
nên
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca
dấu = xảy ra khi a=b=c
DC
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 7 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM:
$\text{VT}=\sum \frac{a^4}{a(b+c)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a(b+c)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)}$
$\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{2(ab+bc+ac)}=\frac{ab+bc+ac}{2}\geq \frac{3}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
PV
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 7 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\frac{a^3}{b}+ab\geq 2a^2\)
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM thì:
\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
Do đó, \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ac\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c>0\)
\(\dfrac{a^3}{b}+ab+\dfrac{b^3}{c}+bc+\dfrac{c^3}{a}+ca\ge2\sqrt{\dfrac{a^4b}{b}}+2\sqrt{\dfrac{b^4c}{c}}+2\sqrt{\dfrac{c^4a}{a}}=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
áp dụng AM GM ta có a^3/b+ab>=2a^2
chứng minh tương tự => a^3/b+b^3/c+c^3/a>=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)
mà ta có a^2+b^2+c^2>=(ab+bc+ca)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a>= ab+bc+ca
"=" xảy ra khi a=b=c