Cho a + b > 1 . CMR \(a^4+b^4>\frac{1}{8}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DH
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 10 2019
\(P=8\left(a^4+b^4\right)+\frac{8}{ab}\ge\frac{8\left(a^2+b^2\right)^2}{2}+\frac{32}{\left(a+b\right)^2}\)
\(P\ge4\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2+32=1+32=33\)
\(\Rightarrow P\ge33\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bạn ghi nhầm đề thì phải
6 tháng 3 2018
Ta có : \(a+b>1>0\) (1)
Bình phương hai vế: \(\left(a+b\right)^2>1\Rightarrow a^2+2ab+b^2>1\left(2\right)\)
Mặt khác : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(3\right)\)
Cộng từng vế của (2) và (3): \(2\left(a^2+b^2\right)>1\Rightarrow a^2+b^2>\dfrac{1}{2}\left(4\right)\)
Bình phương hai vế của (4) : \(a^4+2a^2b^2+b^4>\dfrac{1}{4}\left(5\right)\)
Mặt khác \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Rightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\left(6\right)\)
cộng từng vế của (5) và (6) : \(2\left(a^4+b^4\right)>\dfrac{1}{4}\Rightarrow a^4+b^4>\dfrac{1}{8}\)(đpcm)
NH
2
25 tháng 10 2015
ta có \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) mà \(a+b=1\)
=>\(ab<\frac{1}{4}\)=>\(a^2b^2<\frac{1}{16}\)
Mặt khác \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)=>\(a^4+b^4>2.\frac{1}{16}=\frac{1}{8}\)
C
7 tháng 4 2017
ta có: a+b=1 => (a+b)2=1
a2+2ab+b2=1 (1)
Mặt khác: (a-b)2\(\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\) (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế:
2(a2+b2) > 1
a2+b2> \(\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4>\dfrac{1}{4}\) (3)
\(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\) (4)
cộng (3) và (4) vế theo vế:
2(a4+b4) >\(\dfrac{1}{4}\)
=> \(a^4+b^4>\dfrac{1}{8}\left(đpcm\right)\)
NV
1
LL
1
3 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{8}\) (dpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Ta có : \(a^2+b^2+2ab>1\)
Lại có \(a^2-2ab+b^2\ge0\)
Cộng hai vế bđt trên được \(2\left(a^2+b^2\right)>1\Rightarrow a^2+b^2>\frac{1}{2}\)
\(a^4+2a^2b^2+b^4>\frac{1}{4}\)
Lại có : \(a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\)
Cộng hai vế bđt trên được \(2\left(a^4+b^4\right)>\frac{1}{4}\Rightarrow a^4+b^4>\frac{1}{8}\)
Tương tự ta được:
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab,a+b=1\)
\(\Rightarrow ab< \frac{1}{4}\Rightarrow a^2b^2< \frac{1}{16}\)
Mặt khác \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\Rightarrow a^4+b^4>2.\frac{1}{16}=\frac{1}{8}\)