Cho a,b,c > 0 . CMR : \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 11 2017
Đặt A= abc(bc+a2)(ac+b2)(ab+c2)
Giả sử 1/a + /b + 1/c - (a+b)/(bc+a2) - (b+c)/(ac+b2) - (c+a)/(ab+c2) >=0
<=> (a4b4+b4c4+c4a4-a4b2c2-b4a2c2-c4a2b2)/A >= 0
<=> (2a4b4+2b4c4+2c4a4-2a4b2c2-2b4a2c2-2c4a2b2)/2A >= 0
<=> (a2b2-b2c2)2+(b2c2-c2a2)2+(c2a2-a2b2)2/2A >= 0 (đúng với mọi a,b,c)
20 tháng 11 2017
mk chỉ lm theo cách hiểu của mk thôi!nếu ko đúng thì thông cảm nha!
giả sử: \(a\ge b\ge c>0\)(ko mất tính tổng quát)
\(\Rightarrow a^2\ge ac\)\(\Leftrightarrow a^2+bc\ge ac+bc\) (vì b>0;c>0)
\(\Leftrightarrow a^2+bc\ge c\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{a^2+bc}\le\frac{1}{c}\) (vì a;b;c>0) (1)
c/m tương tự ta đc: \(\frac{b+c}{ac+b^2}\le\frac{1}{a};\) (2)
\(\frac{c+a}{ab+c^2}\le\frac{1}{b}\) (3)
từ (1),(2),(3)=>đpcm
3 tháng 8 2019
Câu hỏi của TRẦN HỮU ĐẠT - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
T
17 tháng 6 2019
Ta có:\(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\) (Áp dụng BĐT AM-GM)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta thu được đpcm.
22 tháng 7 2019
3.Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)ta có
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+2b+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{9}ab.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
TT \(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}\right)\)
=> \(VT\le\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\Sigma.\frac{1}{9}.\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{ba}{a+c}\right)=\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
22 tháng 7 2019
cảm ơn bạn nhiều, bạn có thể giúp mình hai câu kia nữa được không
BH
1
28 tháng 5 2019
bạn tham khảo nhé : https://olm.vn/hoi-dap/detail/222370673956.html
BH
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR: \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{3}{2}\)
1
28 tháng 5 2019
Ta có : a + bc = a ( a + b + c ) + bc = ( a + c ) ( a + b )
BĐT cần chứng minh tương đương với :
\(\frac{a\left(a+b+c\right)-bc}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b\left(a+b+c\right)-ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{c\left(a+b+c\right)-ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le\frac{3}{2}\)
\(\left(a^2+ab+ac-bc\right)\left(b+c\right)+\left(ab+b^2+bc-ac\right)\left(a+c\right)+\left(ac+bc+c^2-ab\right)\left(a+b\right)\le\frac{3}{2}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
khai triển ra , ta được :
\(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+6abc\le\frac{3}{2}\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)+3abc\)
\(\Rightarrow\frac{-1}{2}\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)\le-3abc\)
\(\Rightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\ge6abc\)( nhân với -2 thì đổi dấu )
\(\Rightarrow b\left(a^2-2ac+c^2\right)+a\left(b^2-2bc+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow b\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)
vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT lúc đầu đúng
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
19 tháng 4 2020
\(VT=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a}{c+a}}+\sqrt{\frac{b}{a+b}.\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+c}.\frac{c}{c+a}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
1 tháng 3 2018
Áp dụng tính chất : 1/x+y < = 1/4.(1/x + 1/y) với x,y > 0 thì :
ab/c+1 = ab/c+a+b+c = ab/(c+a)+(c+b) < = ab/4.(1/c+a + 1/c+b) = 1/4.(ab/c+a + ab/c+b)
Tương tự : bc/a+1 < = 1/4.(bc/a+c + bc/a+b) ; ca/b+a < = 1/4.(ca/b+c + ca/b+a)
=> ab/c+1 + bc/a+1 + ca/b+1 < = 1/4.(ab/c+a + ab/c+b + bc/a+c + bc/a+b + ca/b+c + ca/b+a )
= 1/4.[(ab/c+a + bc/a+c) + (ab/c+b + ca/b+c) + (bc/a+b + ca/a+b)]
= 1/4.(a+b+c) = 1/4
=> ĐPCM
Tk mk nha
Ta có : \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{a+b}{4}\)
Tương tự : \(\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4}\) ; \(\frac{ac}{a+c}\le\frac{a+c}{4}\)
Cộng các bđt trên theo vế được :
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{c+a}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)