Question

[bảo hân võ dương]

5x^2 -4xy+ y^2 = 169

Answer 1

[Akai Haruma]

Ok, tìm $x,y$ nguyên.

Lời giải:
PT $\Leftrightarrow x^2+(4x^2-4xy+y^2)=169$

$\Leftrightarrow x^2+(2x-y)^2=169(*)$

Lại có:

Nếu $x,2x-y$ đều không chia hết cho $3$ thì:

$x^2\equiv (2x-y)^2\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow x^2+(2x-y)^2\equiv 2\pmod 3$ hay $169\equiv 2\pmod 3$ (loại)

Nếu $x, 2x-y$ đều chia hết cho $3$ thì:

$x^2\equiv (2x-y)^2\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow 169=x^2+(2x-y)^2\equiv 0\pmod 3$ (vô lý)

Do đó $x,2x-y$ có 1 số chia hết cho $3$

--------------------------------------------

Nếu $x$ chia hết cho $3$. Từ $(*)$ dễ thấy $-13\leq x\leq 13$

$\Rightarrow x\in\left\{-12;-9;-6;-3;0;3;6;9;12\right\}$
Thay vô $(*)$ thì ta có:

$(x,2x-y)=(\pm 12; \pm 5); (0;13); (0; -13)$

Hoán đổi $2x-y$ chia hết cho $3$ thì:
$(x,2x-y)=(\pm 5; \pm 12); (13;0); (-13;0)$

Từ đây:

$(x,y)=(-12; -29); (-12; -19); (12; 19); (12; 29); (0; -13); (0;13); (-5; -22); (-5; 2); (5; -2); (5; 22); (13;26); (-13; -26)$

Answer 2

[Akai Haruma]

Em xem có bổ sung điều kiện gì của $x,y$ không? Ví dụ $x,y$ nguyên, tự nhiên,........