Question

[nguyễn thảo nguyên]

Cho x,y > 0 và x+y =1

Cm; \(\frac{1}{x^2+y^2}\) + \(\frac{1}{xy}\) +3xy \(\ge\)\(\frac{27}{4}\)

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

Trước khi bắt đầu ta nhắc lại bất đẳng thức Cauchy-Schwartz sau: Với \(a,b>0\) thì  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\). Để chứng minh ta áp dụng bất đẳng thức Cô-Si liên tiếp hai lần như sau \(a+b\ge2\sqrt{ab},\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\to\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4.\)

Theo giả thiết \(x+y=1\). Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\to xy\le\frac{1}{4}.\) 

Đặc biệt ta suy ra \(-5xy\ge-\frac{5}{4}.\)         (1)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(\frac{1}{2xy}+8xy\ge2\sqrt{\frac{1}{2xy}\cdot8xy}=4\to\frac{1}{2xy}+8xy\ge4.\)      (2)

Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=4.\)           (3)

Từ ba bất đẳng thức (1), (2), (3), ta cộng lại sẽ được \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+3xy\ge4+4-\frac{5}{4}=\frac{27}{4}.\) (ĐPCM)