Cho a,b,c>0
a+b+c=3
CMR:
Giúp mình với pls
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 6 2021
\(3=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le1\)
BĐT tương đương:
\(3\left(ab+bc+ca\right)\ge abc\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+6\right]\)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\ge abc\left[15-2\left(ab+bc+ca\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(2abc+3\right)\ge15abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\left(2abc+3\right)^2\ge225\left(abc\right)^2\)
Do \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)=9abc\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(2abc+3\right)^2\ge25abc\)
\(\Leftrightarrow\left(1-abc\right)\left(9-4abc\right)\ge0\) (luôn đúng với \(0< abc\le1\))
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
PM
5
30 tháng 4 2018
ta có
\(M=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Lại áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)vào vế trên ta được \(M\ge3+2+2+2=9\left(dpcm\right)\)
KR
30 tháng 4 2018
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky , ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)
Lời giải:
\(\text{VT}=\sum \frac{a^2}{a+2b^3}=\sum (a-\frac{2ab^3}{a+2b^3})=3-2\sum \frac{ab^3}{a+2b^3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sum \frac{ab^3}{a+2b^3}\leq \sum \frac{ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}=\frac{1}{3}\sum \sqrt[3]{a^2}\leq \frac{1}{3}\sum \frac{a+a+1}{3}=\frac{1}{9}[2(a+b+c)+3]=1\)
$\Rightarrow \text{VT}\geq 3-2.1=1$. Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Mình làm được rồi, nhưng dù sao cũng cảm ơn bạn đã trả lời :)