Cho a,b,c >0 và a+b+c=1 . CMR: (1 + a)(1 +b) + (1 + b)(1 + c) + (1 +c)(1 +a) >5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
0
MN
1
13 tháng 3 2018
\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)+\left(1+b\right)\left(1+c\right)+\left(1+c\right)\left(1+a\right)\ge5\)
\(\Leftrightarrow1+a+b+ab+1+b+c+bc+1+c+a+ca\ge5\)
\(\Leftrightarrow3+2\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca\ge5\)
\(\Leftrightarrow5+ab+bc+ca\ge5\)(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=0;c=1 và các hoán vị
PD
1
25 tháng 4 2020
Ta có :
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\left(1+\frac{a+b+c}{a}\right)\left(1+\frac{a+b+c}{b}\right)\left(1+\frac{a+b+c}{c}\right)\)
\(=\left(\frac{2a+b+c}{a}\right)\left(\frac{2b+a+c}{b}\right)\left(\frac{2c+a+b}{c}\right)\)
\(=\left(\frac{a+b}{a}+\frac{a+c}{a}\right)\left(\frac{a+b}{b}+\frac{b+c}{b}\right)\left(\frac{a+c}{c}+\frac{b+c}{c}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
\(\frac{a+b}{a}+\frac{a+c}{a}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}\)
\(\frac{a+b}{b}+\frac{b+c}{b}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b^2}}\)
\(\frac{a+c}{c}+\frac{b+c}{c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{c^2}}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a+b}{a}+\frac{a+c}{a}\right)\left(\frac{a+b}{b}+\frac{b+c}{b}\right)\left(\frac{a+c}{c}+\frac{b+c}{c}\right)\ge8\sqrt{\frac{\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2}{a^2b^2c^2}}\)
\(\ge8\sqrt{\frac{\left[8\sqrt{a^2b^2c^2}\right]^2}{a^2b^2c^2}}=8\sqrt{64}=64\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\)
NH
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 1 2019
\(\left(\dfrac{1}{a}-1\right)\left(\dfrac{1}{b}-1\right)\left(\dfrac{1}{c}-1\right)=\left(\dfrac{1-a}{a}\right)\left(\dfrac{1-b}{b}\right)\left(\dfrac{1-c}{c}\right)\)
\(=\left(\dfrac{b+c}{a}\right)\left(\dfrac{a+c}{b}\right)\left(\dfrac{a+b}{c}\right)\ge\dfrac{2\sqrt{bc}}{a}.\dfrac{2\sqrt{ac}}{b}.\dfrac{2\sqrt{ab}}{c}=8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
{1+a}{1+b}+{1+b}{1+c}+{1+c}{1+a}
=1+a+b+ab+1+b+c+bc +1+c+a+ca
=1+1+1+{a+b+c}+{a+b+c} +ab+bc+ca
=5+ab+bc+ca
vìab+bc+ca >0 =>5+ab+bc+ca >5
lik-e cho minh nha