Question

[Ja Jung Seong]

Cho A = 8 ¹+ 8 ²+8³ + .........+8¹²⁰

 Chứng minh A là bội của 18

Answer 1

[Không Tên]

\(A=8^1+8^2+8^3+...+8^{120}\)

Nhận thấy tất cả các hạng tử của A đều chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2

\(A=8^1+8^2+8^3+...+8^{120}\)

\(=\left(8^1+8^2\right)+\left(8^3+8^4\right)+...+\left(8^{119}+8^{120}\right)\)

\(=8\left(1+8\right)+8^3\left(1+8\right)+...+8^{119}\left(1+8\right)\)

\(=\left(1+8\right)\left(8+8^3+...+8^{119}\right)\)

\(=9\left(8+8^3+...+8^{119}\right)\)\(⋮\)\(9\)

=>   A chia hết cho 9

mà \(\left(2;9\right)=1\)

nên  A chia hết cho 18

Answer 2

[Dinh Thi Ngoc Mai]

Ta có: 18 = 9 x 2

\(\Rightarrow\)Để A  là bội của 18 thì A\(⋮\)8

\(\Rightarrow\)A\(⋮9,2\)vì UWCLN (9,2)=1

\(A=8^1+8^2+8^3+...+8^{120}\)

\(A=\left(8^1+8^2\right)+\left(8^3+8^4\right)+\left(8^5+8^6\right)+...+\left(8^{119}+8^{120}\right)\)

\(A=8^1\left(1+8\right)+8^3\left(1+8\right)+8^5\left(1+8\right)+...+8^{119}\left(1+8\right)\)

\(A=8^1\cdot9+8^3\cdot9+8^5\cdot9+...+8^{199}\cdot9\)

\(A=9\left(8^1+8^3+8^5+...+8^{199}\right)\)

\(\Rightarrow A⋮9\left(1\right)\)

\(A=8^1+8^2+8^3+...+8^{120}\) 

\(\Rightarrow A⋮2\left(2\right)\)

Vì: \(8^1⋮2;8^2⋮2;8^3⋮2;...;8^{120}⋮2\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow A⋮18\)

\(\Rightarrow\)A là bội của 18

Vậy A là bội của 18 (đpcm)